Polinomios de Chebyshov

En matemática, los polinomios de Chebyshev, nombrados en honor a Pafnuti Chebyshev,[1]​ son una familia de polinomios ortogonales que están relacionados con la fórmula de De Moivre y son definidos de forma recursiva con facilidad, tal como ocurre con los números de Fibonacci o los números de Lucas. Usualmente se hace una distinción entre polinomios de Chebyshev de primer tipo que son denotados Tn y polinomios de Chebyshev de segundo tipo, denotados Un. La letra T es usada por la transliteración alternativa del nombre Chebyshev como Tchebychef o Tschebyscheff.

Los polinomios de Chebyshev Tn o Un son polinomios de grado n y la sucesión de polinomios de Chebyshev de cualquier tipo conforma una familia de polinomios.

Los polinomios de Chebyshev son importantes en la teoría de la aproximación porque las raíces de los polinomios de Chebyshev de primer tipo, también llamadas nodos de Chebyshev, son usadas como nodos en interpolación polinómica. El polinomio de interpolación resultante minimiza el problema del fenómeno de Runge y entrega una aproximación cercana del polinomio a la mejor aproximación a una función continua bajo la norma maximal. Esta aproximación conduce directamente al método de la cuadratura de Clenshaw-Curtis.

En el estudio de ecuaciones diferenciales surgen como la solución a las

y

para polinomios del primer y segundo tipo, respectivamente. Estas ecuaciones son casos particulares de la ecuación diferencial de Sturm-Liouville.

Definición

polinomios de Chebyshev de primer tipo Tn

Los polinomios de Chebyshev de primer tipo son definidos mediante la relación de recurrencia

Un ejemplo de función generatriz para Tn es

polinomios de Chebyshev de segundo tipo Un

Los polinomios de Chebyshev de segundo tipo son definidos mediante la relación de recurrencia

Un ejemplo de función generatriz para Un es

Definición trigonométrica

Los polinomios de Chebyshev de primer tipo pueden ser definidos por la identidad trigonométrica:

de donde:

para n = 0, 1, 2, 3,..., mientras que los polinomios de segundo tipo satisfacen:

que es estructuralmente similar al núcleo de Dirichlet.

Ese cos(nx) es un polinomio de grado n-ésimo en cos(x) que puede obtenerse observando que cos(nx) es la parte real de un lado de la fórmula de De Moivre, y que la parte real del otro lado es un polinomio en cos(x) y sin(x), en el que todas las potencias de sin(x) son pares, luego reemplazables vía la identidad cos²(x) + sin²(x) = 1.

Esta identidad es muy útil en conjunto con la fórmula generatriz recursiva, permitiendo calcular el coseno de cualquier integral múltiple de un ángulo únicamente en términos del coseno del ángulo basal. Evaluando los dos primeros polinomios de Chebyshev:

y:

uno puede directamente determinar que:

y así sucesivamente. Para probar trivialmente si los resultados parecen razonables, basta sumar los coeficientes en ambos lados del signo igual (es decir, fijando theta igual a cero, caso en que el coseno equivale a la unidad), obteniendo que 1 = 2 - 1 en la primera expresión y 1 = 4 - 3 en la segunda.

Un corolario inmediato es la identidad de composición

Explícitamente

(sin olvidar que los cosenos hiperbólicos inversos de x y −x difieren por la constante π). A partir de un razonamiento similar al anterior, es posible desarrollar una forma cerrada para la generatriz de polinomios de Chebyshev de tercer tipo:

la cual, combinada con la fórmula de De Moivre:

entrega:

expresión que, por supuesto, es una forma mucho más expedita para determinar el coseno de N veces un ángulo dado que iterar cerca de N veces en la forma recursiva. Finalmente, si reemplazamos por x, podemos escribir:

Definición a partir de la ecuación de Pell

Los polinomios de Chebyshev también pueden ser definidos como las soluciones a la ecuación de Pell

en un anillo R[x] (e.g., ver Demeyer (2007), p.70). De este modo, pueden ser generados por la técnica estándar para la ecuaciones de Pell consistente en tomar potencias de una solución fundamental:

Relación entre los polinomios de Chebyshev de primer y segundo tipo

Los polinomios de Chebyshev de primer y segundo tipo están relacionados a través de las siguientes ecuaciones

La relación de recurrencia para la derivada de los polinomios de Chebyshev puede ser obtenida de estas relaciones

Esta relación es usada en el método espectral de Chebyshev de resolución de ecuaciones diferenciales.

Equivalentemente, las dos sucesiones pueden también ser definidas a partir de un par de ecuaciones de recurrencia mutua:

Estas pueden ser obtenidas desde fórmulas trigonométricas; por ejemplo, si , entonces

Notar que tanto estas ecuaciones como las trigonométricas adquieren una forma más simple si seguimos la convención alternativa de escribir Un (el polinomio de grado n) como Un+1.

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