Polinomio ciclotómico

Se denomina polinomio ciclotómico de orden n y se denota como Φn al polinomio unitario cuyas raíces son todas las raíces primitivas de orden n de la unidad, es decir, que verifican zn = 1 .

Se suele tomar las raíces en el cuerpo de los complejos, (otras extensiones del cuerpo de los reales serían posibles), pero carece de consecuencia sobre los polinomios ciclotómicos, cuyos coeficientes son siempre enteros. El grado de Φn es dado por la función φ de Euler, y es lógicamente inferior o igual a n.

Las raíces primitivas son de la forma ωr, con 0 ≤ r < n, r coprimo con n, y . Entonces

Historia

Nacimiento de la noción

El tractat d'anàlisi dels polinomis ciclotòmics

Carl Friedrich Gauss utiliza en sus Disquisitiones Arithmeticae, publicado en 1801, los polinomios ciclotómicos. Se hace una importante contribución a un problema abierto desde la antigüedad: la construcción con regla y compás de polígonos regulares. Estos trabajos sirven de referencia a lo largo del siglo. En este trabajo, Gauss determina con precisión la lista de polígonos construibles, y le da un método eficaz para su construcción hasta 256 lados del polígono. Este problema recibe una respuesta final por Pierre- Laurent Wantzel (1814 - 1848) en un artículo[1] en adelante célebre.

Este enfoque es innovador y, en muchos aspectos, prefigura álgebra moderna: Un polinomio ya no aparece como un objeto en sí mismo, sino como parte de un conjunto estructurado. Si el concepto del anillo de polinomios no se formaliza, la estructura euclidiana se encuentra y es la herramienta básica para el análisis de Gauss.

La resolución efectiva de la ecuación de Gauss ciclotómico llevó a considerar una estructura finita: las permutaciones de las raíces. Ahora se llaman periodo de Gauss. Sus propiedades algebraicas se utilizan para encontrar la solución. Este enfoque prevé el uso de la teoría de grupos en el álgebra y la teoría de Galois.

Las nuevas estructuras se definen a continuación. La división euclidiana introduce la noción de residuo y su conjunto tiene propiedades algebraicas fuertes. Tal estructura ahora se considera un caso especial de la finita si el divisor es un número primo. Gauss resalta tales conjuntos y utiliza el transporte de estructura para morfismos entre dos anillos para mostrar la irreductibilidad de polinomios ciclotómicos. En el mismo libro, él utiliza estas estructuras para resolver otro problema abordado por Fermat (1601 - 1685) y formalizado por Euler (1707 - 1783): la ley de reciprocidad cuadrática.

Por este tiempo, se proponen muchas aplicaciones. La utilización de la geometría no se limita a la construcción con la regla y el compás. El polinomio ciclotómico de índice cuatro permite la construcción de un nuevo conjunto de números algebraicos el de los enteros de Gauss. Una rama de la matemática surge: la teoría de números algebraicos, que simplifica la resolución de ecuaciones diofánticas y permite resolver nuevos.

Ecuación polinómica y algebraica ciclotómicos

La búsqueda de soluciones a la ecuación polinómica es un problema que se remonta a los primeros desarrollos en polinomios por los matemáticos árabes. Aunque en general se cita a Al- Khwarizmi ( 783-850 ) como precursor con la resolución de seis ecuaciones canónicas, Girolamo Cardano ( 1501-1576 ) para la resolución del caso de grado tres y Ludovico Ferrari ( 1522-1565 ) para el cuarto. El caso general continuó siendo durante mucho tiempo misterioso. Joseph - Louis Lagrange (1736 - 1813) incluye la resolución de este problema general está íntimamente relacionado con las propiedades de las permutaciones de raíces. El caso especial de los polinomios ciclotómicos lo muestra. El grupo de permutaciones buenas, ahora llamado grupo de Galois, no solo es conmutativa sino además cíclica. Esta propiedad, que se utiliza en torno al concepto de períodos de Gauss, permite una eficaz solución para este caso particular. Un análisis más profundo Ruffini Paolo ( 1765-1822 ), Niels Henrik Abel ( 1802-1829 ) y sobre todo por Evariste Galois ( 1811-1832 ) muestra que el aspecto conmutativa del grupo es, de hecho, una condición suficiente. Para ser precisos, la situación indica que el grupo debe ser dividido en una serie de grupos conmutativos anidadas. La pregunta natural que surge es determinar las extensiones del cuerpo de los números racionales cuyo grupo de Galois es conmutativa. Estas extensiones se llaman extensiones abelianas. La estructura del cuerpo asociado con el polinomio ciclotómico extensión llamada ciclotómico, es un ejemplo. Que sea única significa que toda ecuación algebraica resoluble por radicales se reduce de una manera u otra a un polinomio ciclotómico. La respuesta es que toda extensión abeliana del cuerpo de los racionales es un subcuerpo de una extensión ciclotómico. La prueba de este resultado ha necesitado casi medio siglo esfuerzo para terminar de ser demostrado. Los principales científicos para dicha demostración fueron Leopold Kronecker (1823 - 1891) y Heinrich Weber ( 1842-1913 ). Si el análisis de las extensiones abelianas finitas termina con el siglo XIX, se deja abierta una amplia gama de cuestiones, por ejemplo en aritmética. Parece necesario generalizar la noción de campo ciclotómico sobre extensiones infinitas. La cuestión la plantea David Hilbert ( 1862-1943 ).[3] de Emil Artin ( 1898-62 ) que resuelve el noveno de los problemas de Hilbert, o más recientemente, dos laureados de la medalla Fields para sus trabajos sobre generalizaciones de la teoría: Vladimir Drinfeld 1990 o Laurent Lafforgue en 2002.

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