Poliedro dual

El octaedro y el cubo son poliedros duales. Aquí aparecen con los vértices del octaedro en el centro de las caras del cubo.
Secuencia de truncado desde un cubo a su poliedro dual, un octaedro. Un poliedro dual se denomina en ocasiones una rectificación de las caras o una birectificación.

En geometría, un poliedro dual o conjugado es el poliedro cuyos vértices se corresponden con el centro de las caras del otro poliedro dado. El poliedro dual del dual es similar al original. El dual de un poliedro con vértices equivalentes es uno con caras equivalentes, y el de uno con aristas equivalentes es otro con aristas equivalentes. Poliedros regulares como los sólidos platónicos y los sólidos de Kepler-Poinsot están asociados a poliedros duales.

Tipos de dualidad

Hay muchos tipos de dualidad desde los cuales ver la relación entre los poliedros. Algunos de los tipos más importantes y frecuentemente utilizados para los poliedros regulares son:

Reciprocidad polar

La dualidad de los poliedros se define generalmente en términos de reciprocidad polar con respecto a una esfera concéntrica. Aquí, cada vértice (polo) está asociado con una cara y su plano (plano polar) de manera que la línea recta imaginaria que viene desde el centro hasta el vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias desde el centro hasta cada uno de los lados es igual al cuadrado del radio. En coordenadas, para la reciprocidad con respecto a una esfera concéntrica:

el vértice:

está asociado con el plano:

.

Por tanto, los vértices del poliedro dual son los recíprocos de los planos de la cara del original (el otro poliedro), y las caras del dual yacen en las recíprocas de los vértices del original. Además, cualesquiera dos vértices adyacentes definen una arista, y éstas tendrán reciprocidad con dos caras adyacentes que se intersecan para definir una arista del dual. Es posible generalizar a espacio n-dimensional, por lo que se puede hablar de politopos duales. Entonces, los vértices de un politopo se corresponden con los elementos (n-1)-dimensionales, o facetas, del otro, y los j puntos que definen un elemento (j-1)-dimensional se corresponden con los j hiperplanos que se intersecan para dar un elemento (n-1)-dimensional. Cuando el dual de una figura es la figura misma (como en el caso del tetraedro o del icositetracoron) se dice que ésta es auto-dual. El dual del tipo panal de abejas puede definirse de modo similar.

El concepto de dualidad que se emplea aquí también está relacionado (pero no es lo mismo) con la dualidad en geometría proyectiva, donde las líneas y las aristas se intercambian. De hecho, estas dos dualidades suelen confundirse, y con frecuencia se toma la aquí descrita por una versión de esta última. La polaridad proyectiva funciona lo suficientemente bien para poliedros convexos, pero para figuras no convexas (como, por ejemplo, los poliedros estrellados), cuando se busca definir rigurosamente esta forma de dualidad poliédrica en términos de polaridad proyectiva, pueden aparecer algunos inconvenientes en el cálculo.

Para ilustrar estos inconvenientes, pueden consultarse en las obras de Grünbaum & Shepherd (1988), y Gailiunas & Sharp (2005). La obra de Wenninger (1983) también analiza algunos problemas en su manera de derivar los infinitos duales que surgen.

Si un poliedro tiene un elemento que pasa a través del centro de una esfera, el elemento correspondiente de su dual pasará a través de él o estará en el infinito. Dado que el espacio euclidiano infinito tradicional no alcanza nunca el infinito, el equivalente proyectivo, llamado espacio euclidiano extendido, debe formarse agregando el plano requerido en el infinito.

Duales canónicos

La forma exacta del dual dependerá de la esfera respecto de la cual se establezca la reciprocidad, pues la esfera creará distorsiones cuando se mueva alrededor del dual. El centro de la esfera es suficiente para definir el dual hasta la similaridad. Si están presentes múltiples ejes de simetría, estos se intersecarán necesariamente en un único punto, el que usualmente se toma como centro. Si esto falla, pueden usarse una esfera circunscrita, una esfera inscrita o una esfera media (o interesfera) (una con todas las aristas como tangentes). Puede demostrarse que todos los poliedros convexos pueden distorsionarse a una forma canónica donde existe una esfera media tal que los puntos donde las aristas la tocan promedian el centro del círculo, y esta forma es única excepto por las congruencias.

Si se reciproca dicho poliedro con respecto a su esfera media, el poliedro dual de éste compartirá los mismos puntos de tangencialidad con respecto de sus aristas, y también será canónico; este también será su dual canónico, y los dos juntos formarán un par dual canónico.

Dualidad topológica

Se puede distorsionar un poliedro dual de modo tal que no sea posible ya obtenerlo por reciprocidad del original en ninguna esfera. En este caso se dice que los dos poliedros son aún topológicamente duales, aunque ya no sean recíprocos polares.

Cabe notar que los vértices y las aristas de un poliedro convexo pueden proyectarse para formar un grafo sobre la esfera o sobre un plano, y el correspondiente grafo formado por el dual de este poliedro será su grafo dual.

Un politopo abstracto, y por añadidura un poliedro abstracto, es cierto tipo de conjunto parcialmente ordenado de elementos, de manera que las adyacencias o conexiones entre los elementos del conjunto se corresponden con las adyacencias entre elementos (caras, aristas, etcétera) de un poliedro. Este conjunto parcialmente ordenado puede entenderse como un poliedro geométrico que tiene la misma estructura topológica. El conjunto parcialmente ordenado puede ser representado en un diagrama de Hasse. Cualquier conjunto parcialmente ordenado tiene uno que es dual de éste. El diagrama de Hasse del poliedro dual a éste se obtiene fácilmente, mediante la lectura del diagrama original al revés.

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