Plano proyectivo

El plano de Fano es un ejemplo de plano proyectivo.

El plano proyectivo es el conjunto estudiado por la geometría proyectiva. Surge en geometría euclidiana al añadir a un plano un punto por cada familia de rectas paralelas (es decir, uno por cada par de direcciones opuestas). Los puntos así añadidos reciben el nombre de puntos del infinito, y su introducción unifica y simplifica mucho los enunciados de la geometría. Por ejemplo, la afirmación que dice que dos rectas de un plano se cortan en un único punto o son paralelas, en el plano proyectivo se enuncia: Dos rectas siempre se cortan en un único punto.

Empleo en la geometría proyectiva

La geometría proyectiva surge realmente al estudiar «solamente» las relaciones de incidencia cuando los puntos ordinarios y los puntos del infinito se consideran en pie de igualdad. Una forma de visualizar la geometría proyectiva es tomar un punto P exterior al plano y definirlo como las proyecciones de los elementos tridimensionales sobre un plano. Cada punto del plano define claramente una recta que pasa por P; pero así no obtenemos todas las rectas que pasan por P: faltan las rectas paralelas al plano dado, que se corresponden precisamente con las direcciones del plano.

Los puntos del plano proyectivo se corresponden naturalmente con las rectas que pasan por P, y las rectas del plano proyectivo con los planos que pasan por P. Esta correspondencia conserva las relaciones de incidencia, es un isomorfismo entre sus respectivas estructuras. Podemos definir sin más el plano proyectivo como la radiación de rectas de vértice un punto dado P. Además esta perspectiva permite introducir también la recta proyectiva, como radiación de rectas de vértice dado en un plano, y espacios proyectivos tridimensionales, como radiación de rectas que pasan por el origen en un espacio vectorial de dimensión 4, o de cualquier otra dimensión n (sin más que considerar espacios vectoriales de dimensión n+1).

Other Languages
العربية: مستوى إسقاط
français: Plan projectif
日本語: 射影平面
Nederlands: Projectief vlak
norsk bokmål: Projektivt plan
português: Plano projectivo
slovenščina: Projektivna ravnina
中文: 射影平面