Pequeño teorema de Fermat

El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:

Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, con a>0 , apa (mod p)


Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:

Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a, con a>0 , coprimo con p , ap-1 ≡ 1 (mod p)


Esto quiere decir que, si se eleva un número a a la p-ésima potencia y al resultado se le resta a, lo que queda es divisible por p (véase aritmética modular). Su interés principal está en su aplicación al problema de la primalidad y en criptografía.

Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en 1995.[1]

Historia

La civilización china parece que fue la primera cultura en estar interesada en la aritmética modular.[3] documentada por Joseph Needham, según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron estudiados por esta civilización.

Así pues, matemáticos chinos formularon la hipótesis (a veces conocida como hipótesis china) de que p es primo si y sólo si 2p ≡ 2 (mod p) (donde el símbolo ≡ significa congruencia según el módulo indicado). Es verdad que, si p es primo, entonces 2p ≡ 2 (mod p) (este es un caso especial del pequeño teorema de Fermat), pero el recíproco (si 2p ≡ 2 (mod p), entonces p es primo) no lo es, por lo que la hipótesis es falsa.

Se cree ampliamente que la hipótesis china fue desarrollada 2000 años antes del trabajo de Fermat en el siglo XVII. Aunque la hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable que pueda haber sido conocida por los matemáticos de la antigüedad. Algunos, sin embargo, sostienen que la creencia de que esta hipótesis fuera conocida hace tanto tiempo es fruto de un error de comprensión, y que se desarrolló realmente en 1872. Para más información sobre este asunto, consúltese Ribenboim, 1995.

Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el teorema. Aparece en una de sus cartas a su confidente Frénicle de Bessy, fechada el 18 de octubre de 1640, con el siguiente texto: p divide a ap-1 - 1 cuando p sea primo y a sea coprimo con p.[4]

Aunque actualmente lo conozcamos como pequeño teorema de Fermat, lo cierto es que hasta el siglo XX fue conocido como teorema de Fermat, como recoge por ejemplo Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae.[6]

Für jede endliche Gruppe besteht nun ein Fundamentalsatz, welcher der kleine Fermatsche Satz genannt zu werden pflegt, weil ein ganz spezieller Teil desselben zuerst von Fermat bewiesen worden ist.

He aquí el teorema fundamental que se cumple en cada grupo finito, llamado habitualmente pequeño teorema de Fermat, porque Fermat fue el primero en probar una parte especial de él.

Kurt Hensel
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