Pentominó

Un pentominó griego πέντε / pente),(molina2002]) én denominado , es una poliforma de la clase poliominó que consiste en una figura geométrica compuesta por cinco cuadrados unidos por sus lados. Existen doce pentominós diferentes, que se nombran con diferentes letras del abecedario. Los pentominós obtenidos a partir de otros por simetría axial o por rotación no cuentan como un pentominó diferente.A continuación se muestran algunas figuras.

Pentominos.svg

Si se tienen en cuenta los pentominós obtenidos mediante simetría axial como pentominós diferentes tendríamos un total de 18. Los llamados T, V, I, X, U y W forman pentominós por simetría axial a los que también se puede llegar por rotación. Esto tiene importancia en algunos juegos de ordenador, tipo Tetris, en los que no se pueden girar las figuras por simetría. Al pentominó F también se lo conoce como pentominó R, en referencia al juego de la vida de Conway.

Es interesante señalar las diferentes variaciones que pueden obtenerse:

  • L, N, Y, P y F pueden orientarse de 8 formas: 4 por rotación y 4 más por simetría axial.
  • Z puede orientarse de 4 formas: 2 por rotación y 2 más por simetría axial.
  • T, V, U y W pueden orientarse de 4 formas por rotación.
  • I puede orientarse de 2 formas por rotación.
  • X sólo puede orientarse de una forma.

Por ejemplo, las 8 combinaciones de Y serían:

Pentonimoy.png

Rompecabezas 2D

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Un rompecabezas 2D de pentominós consiste en rellenar un rectángulo con los 12 pentominós distintos sin dejar huecos vacíos ni superponiendo cuadrados. Cada uno de los 12 pentominós ocupa un área de 5 cuadros, por lo que el rectángulo deberá tener una superficie de 60 cuadrados. Las posibles dimensiones son 6×10, 5×12, 4×15 y 3×20. Un jugador hábil no tarda mucho en encontrar una solución válida. Una tarea más larga sería contar cuántas posibles soluciones existen para cada caso, lo que requiere el uso de algoritmos de búsqueda por computador.

El rectángulo de 6×10 fue resuelto por primera vez por John Fletcher[1] en 1965. Existen exactamente 2339 soluciones, excluyendo las variaciones obtenidas por rotación o simetría de todo el rectángulo, pero incluyendo las variaciones aplicadas a un subconjunto de pentominós (a veces esto permite encontrar fácilmente otras soluciones).

El rectángulo de 5×12 tiene 1010 posibles soluciones, el de 4×15, 368 soluciones y el de 3×20 tiene solamente 2.

Un rompecabezas un tanto más sencillo (más simétrico) es el que consiste en rellenar un rectángulo de 8×8 con un agujero en el centro de 2×2, que fue resuelto por Dana Scott en 1958.[2] Para esta variación existen 65 soluciones. El algoritmo de Scott fue una de las primeras aplicaciones de ordenador de backtracking o 'vuelta atrás'. Existen variaciones en las que se permite cambiar de posición los cuatros huecos. Muchos de esos modelos se pueden solucionar, excepto aquel en el que se sitúa cada par de huecos cerca de dos esquinas del tablero de forma que ambas esquinas solo puedan ser completadas por un pentominó tipo P.

Se han escrito algoritmos eficientes para la resolución de estos rompecabezas, como por ejemplo el de Donald Knuth.[3] Usándolos en hardware moderno, se pueden encontrar soluciones en unos segundos.

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