Partícula en un potencial de simetría esférica

Una partícula en un potencial de simetría esférica, es un término para referirse a toda una serie de problemas o sistemas físicos interesantes en que una partícula está en un campo exterior central con simetría esférica. Este tipo de sistemas aparece tanto en mecánica clásica, donde el caso más notorio son las órbitas planetarias, como en mecánica cuántica donde el caso más interesante es el átomo con un sólo electrón.

Sistemas cuánticos con simetría esférica

Entre los casos cuánticos físicamente interesantes que están entre la colección de potenciales de simetría esférica están:

Formulación

Debido a la simetría esférica del problema conviene usar coordenadas esféricas para buscar las funciones de onda del sistema cuántico (el problema puede llegar a ser irresoluble por los medios comunes si se usa otro tipo de coordenadas). Un sistema cuántico con un potencial de simetría esférica tiene un conjunto de estados estacionarios cuya función de onda calculable es solución de ecuación diferencial de Schrödinger en coordenadas esféricas y con un potencial dependiendo sólo de la coordenada radial:

( 1)

Separación de variables

Una técnica común para resolver la ecuación (1) es usar la técnica de separación de variables consistente en buscar soluciones particulares que sean producto de una o más funciones cada una dependiendo sólo de algunas de las coordenadas. Así a partir de las propiedades del operador laplaciano y la separación de variables para las coordenada radial y las coordenadas angulares, que las soluciones de la ecuación (1) pueden escribirse como el producto de una función de la coordenada radial por una función de las coordenadas angulares del siguiente modo:


Gracias a esta última propiedad puede probarse que la función anterior será solución de (1) si y sólo si la función Rnl(r) satisface la siguiente ecuación (2a) y Ylm(θ,φ) satisface (2b):


La solución (2b) será físicamente admisible si es periódica en los dos variables, es decir, si después de girar un ángulo 2π la función toma los mismos valores, matemáticamente, Ylm(θ,φ) = Ylm(θ+2pπ,φ+2qπ) para cualesquiera p y q enteros. Puede probarse que la ecuación (2b) sólo es periódica si l y m son números enteros, por tanto los estados físicos reales se caracterizan por valores enteros de esos dos números cuánticos, y en ese caso la función solución Ylm, se llama armónico esférico y viene dada por el producto de una exponencial compleja por un polinomio de Legendre:


Por ser las coordenadas esféricas ortogonales el segundo miembro de la anterior ecuación se anula y por las propiedades del armónico esférico Ylm asociado a los l y m. Finalmente el hamiltoniano para una partícula en un potencial de simetría esférica debe ser de la forma:

( 3)

Valores propios de la energía y el momento angular

Los valores propios del momento angular en un campo de simetría esférica son siempre los mismos ya que no dependen de la forma concreta del potencial. Estos valores están cuantizados y dependen del número cuántico . A partir de las ecuaciones anteriores resulta sencillo probar los valores propios del momento angular vienen dados por , ya que:

Para un potencial atractivo la ecuación (2) admite un número finito o infinito numerable de posibles soluciones . Estas son los posibles valores de la energía de los estados ligados. El análogo clásico de un estado ligado es una situación en que la partícula se mueve en una región finita y acotada del espacio. Además de esas soluciones de energía negativa que representan estados ligados, existirán soluciones de energía positiva si el potencial está acotado superiormente, es decir, si . Este segundo conjunto de soluciones consistirá en general en un conjunto infinito numerable de funciones no-normalizables o estados de colisión, que matemáticamente son miembros de un espacio de Hilbert equipado que incluye al espacio de Hilbert convencional al que pertenecen las soluciones de energía negativa.

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