Paralelogramo

Los cuatro tipos de paralelogramo. : cuadrado, rombo, romboide y rectángulo. El cuadrado y el rectángulo son paralelogramos rectángulos, mientras que los otros dos son paralelogramos no rectángulos.

Un paralelogramo es un cuadrilátero cuyos pares de lados opuestos son iguales y paralelos dos a dos[1]

Clases de paralelogramos

  • El cuadrado, que tiene todos sus lados de igual longitud, y todos sus ángulos son rectos.
  • El rombo, que tiene todos sus lados de igual longitud, y solo dos pares de ángulos iguales.
  • El rectángulo, que tiene solo sus lados opuestos de igual longitud, y todos sus ángulos son rectos.
  • El romboide, que tiene solo los lados opuestos de igual longitud y solo dos pares de ángulos iguales.

Propiedades

Por definición de paralelogramo:

  • Todo cuadrilátero tiene cuatro vértices, cuatro lados y cuatro ángulos interiores.
  • Los lados opuestos de un paralelogramo son paralelos.

Propiedades de los paralelogramos deducibles a partir de su definición:

  • Hereda todas las propiedades de los cuadriláteros:
    • La suma de los ángulos interiores de todo paralelogramo es siempre igual a 360°.
  • Los lados opuestos son de igual longitud, (congruentes).
  • Los ángulos internos en dos vértices contiguos cualesquiera son suplementarios (suman 180°).
    • Los ángulos internos opuestos son iguales en medida.
  • El área de un paralelogramo es el doble del área de un triángulo formado por cualquiera de sus diagonales y los lados contiguos de la figura.
  • Cualquier recta secante corta al paralelogramos en no más de dos puntos.
  • Las diagonales de un paralelogramo se bisecan entre sí en el «centro» del paralelogramo.
    • El «centro» del paralelogramo es también el baricentro del mismo.
    • Cualquier recta secante que pase por el «centro» de un paralelogramo divide a su superficie en dos partes iguales.
    • Cualquier recta coplanar que pase por el «baricentro» de un paralelogramo es también «transversal de gravedad» del mismo.

Propiedades causadas por diferentes aplicaciones:

  • Cualquier transformación afín no degenerada transforma un paralelogramo en otro paralelogramo.
  • Existe un número infinito de transformaciones afines que transforman a un paralelogramo dado en un cuadrado.
  • Se puede establecer un homeomorfismo entre un paralelogramo y una circunferencia.[2]
  • Una traslación, una rotación de un paralelogramo conservan la forma y el tamaño.[3]

Dado un paralelogramo construido mediante vectores:

  • El área de un paralelogramo es igual a la magnitud (módulo) del producto vectorial[5]

Casos de simetría para diversas clases de paralelogramos

  • El paralelogramo «cuadrado», tiene simetría de rotación de orden 4 (90°)
  • Los paralelogramos «romboide», «rombo» y «rectángulo», tiene simetría de rotación de orden 2 (180°)
  • Si no tiene ningún eje de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «romboide».
  • Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión diagonales, entonces es un paralelogramo «rombo».
  • Si tiene 2 ejes de simetría de reflexión perpendiculares a sus lados, entonces es un paralelogramo «rectángulo».
  • Si tiene 4 ejes de simetría de reflexión, entonces es un paralelogramo «cuadrado».

Algunas propiedades métricas comunes

  • El perímetro de un paralelogramo es 2 (a + b), donde a y b son las longitudes de dos lados contiguos cualquiera.
  • La suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales (véase la ley del paralelogramo).
  • Para calcular el área de un paralelogramo, se puede considerar como una figura compuesta por dos triángulos congruentes y un rectángulo, trazando alturas de los vértices de los ángulos obtusos.
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