Paradoja de Russell

La paradoja de Russell o paradoja del barbero, descrita por Bertrand Russell en 1901, demuestra que la teoría original de conjuntos formulada por Cantor y Frege es contradictoria.

La paradoja en términos de conjuntos

Supongamos los casos de conjuntos que son miembros de sí mismos. Un ejemplo descrito es el que supone un conjunto que consta de "ideas abstractas". Dicho conjunto es miembro de sí mismo porque el propio conjunto es una idea abstracta. Otro ejemplo sería una bolsa con bolsas dentro. Por otro lado un conjunto que consta de "libros" no es miembro de sí mismo porque el conjunto en sí no es un libro. Russell preguntaba (en carta escrita a Frege en 1902), si el conjunto de los conjuntos que no forman parte de sí mismos (es decir, aquel conjunto que engloba a todos aquellos conjuntos que no están incluidos en sí mismos, como el de "libros" en el ejemplo anterior) forma parte de sí mismo. La paradoja consiste en que si no forma parte de sí mismo, pertenece al tipo de conjuntos que no forman parte de sí mismos y por lo tanto forma parte de sí mismo. Es decir, formará parte de sí mismo sólo si no forma parte de sí mismo.[ cita requerida]

Enunciado formal de la paradoja

Llamemos al "conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como miembros". Es decir

( 1)

Según la teoría de conjuntos de Cantor, la ecuación (1) se puede representar por

( 2)

es decir "Cada conjunto es elemento de si y sólo si no es elemento de sí mismo".

Ahora, en vista de que es un conjunto, se puede substituir por en la ecuación (2), de donde se obtiene

( 3)

Es decir que es un elemento de si y sólo si no es un elemento de , lo cual es absurdo.

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