Paradoja de Banach-Tarski

¿Puede descomponerse una bola en un número finito de conjuntos de puntos y reensamblarse para dar como resultado dos bolas idénticas a la original?

La paradoja de Banach–Tarski es un teorema en geometría teórica de conjuntos cuyo enunciado es el siguiente:

Dada una bola en el espacio tridimensional, existe una descomposición de la bola en un número finito[1] de piezas no solapadas (es decir, subconjuntos disjuntos), que pueden juntarse de nuevo de manera diferente para dar dos copias idénticas de la bola original. Todavía más, el proceso de reensamblaje requiere únicamente remover las piezas y rotarlas, sin cambiar su forma. Sin embargo, las mismas piezas no son "sólidas" en el sentido habitual, sino dispersiones de infinitos puntos.

A continuación vemos una versión más contundente del teorema:

Dados dos objetos "razonablemente" sólidos (como una bola pequeña y una grande), cada una puede ser reensamblada en la otra.

Informalmente esto se dice con frecuencia de la siguiente forma:

Un guisante puede trocearse y reensamblarse para formar el Sol.

Esta última forma se llama la "paradoja del guisante y el Sol."

La razón por la que se considera una paradoja a este teorema es porque contradice la intuición geométrica básica. "Doblar la bola" dividiéndola en partes y removiéndolas por rotaciones, sin ningún estiramiento, curvatura, o adición de nuevos puntos, parece ser imposible, ya que todas estas operaciones conservan el volumen.

Al contrario de la mayoría de teoremas de geometría, este resultado depende de forma crítica de la elección de los axiomas de la teoría de conjuntos. Únicamente puede demostrarse usando el axioma de elección,[2] que permite la construcción de conjuntos no medibles, es decir, colecciones de puntos que no tienen un volumen en el sentido ordinario y que para su construcción requerirían un número infinito de elecciones.

En 2005 se demostró que las piezas de la descomposición pueden elegirse de tal forma que puedan moverse continuamente sin solaparse entre sí.[3]

Publicación de Banach y Tarski

En un artículo publicado en 1924,[4] Stefan Banach y Alfred Tarski dieron una construcción de semejante "descomposición paradójica", basada en el trabajo anterior de Giuseppe Vitali sobre el intervalo unidad y sobre las descomposiciones de subconjuntos de espacios euclídeos en varias dimensiones. Demostraron el enunciado siguiente, más general, la forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski:

Para todo ( acotados) (espacio euclídeo de dimensión )interior, interior particiones de en un número finito de subconjuntos disjuntos, son congruentes.

Ahora sea la bola original y la unión de las dos copias trasladadas de la bola original. Entonces la proposición quiere decir que se puede dividir la bola original en un cierto número de piezas y después rotar y trasladar estas piezas de forma que el resultado sea el conjunto entero, el cual contiene dos copias de .

La forma fuerte de la paradoja de Banach-Tarski es falsa para dimensión una o dos, pero Banach y Tarski mostraron que una proposición análoga se mantiene verdadera si se permiten muchos subconjuntos. La diferencia entre las dimensiones una y dos por un lado, y tres o más por el otro, se debe a la estructura superior del grupo de los movimientos euclídeos en las dimensiones mayores, el cual es resoluble para y contiene un grupo libre con dos generadores para . John von Neumann estudió las propiedades del grupo de equivalencias que hacen posible una descomposición paradójica e introdujo la noción de grupos flexibles. También encontró una forma de la paradoja en el plano que usa la conservación del área, transformaciones afines, en lugar de las congruencias habituales.

Tarski demostró que los grupos flexibles son precisamente aquellos para los que no existen descomposiciones paradójicas.

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