Péndulo

Péndulo simple o matemático

Componentes del peso de la masa pendular.

También llamado péndulo ideal, está constituido por un hilo inextensible de masa despreciable, sostenido por su extremo superior de un punto fijo, con una masa puntual sujeta en su extremo inferior que oscila libremente en un plano vertical fijo.

Al separar la masa pendular de su punto de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, desplazándose sobre una trayectoria circular con movimiento periódico.

Ecuación del movimiento

Para escribir la ecuación del movimiento observaremos la figura adjunta, correspondiente a una posición genérica del péndulo. La flecha azul representa el peso de la masa pendular. Las flechas en color violeta representan las componentes del peso en las direcciones tangencial y normal a la trayectoria.

Aplicando la Segunda ley de Newton en la dirección del movimiento, tenemos

${\displaystyle F_{\text{t}}=-mg\sin \theta =ma_{\text{t}}\,}$

donde el signo negativo tiene en cuenta que la ${\displaystyle F_{\text{t}}}$ tiene dirección opuesta a la del desplazamiento angular positivo (hacia la derecha, en la figura). Considerando la relación existente entre la aceleración tangencial y la aceleración angular

${\displaystyle a_{\text{t}}=\ell {\ddot {\theta }}\ \,}$

obtenemos finalmente la ecuación diferencial del movimiento plano del péndulo simple

${\displaystyle \ell {\ddot {\theta }}\ +g\sin \theta =0\,}$

Período de oscilación

Factor de amplificación del período de un péndulo, para una amplitud angular cualquiera. Para ángulos pequeños el factor vale aproximadamente 1 pero tiende a infinito para ángulos cercanos a π (180º).

El astrónomo y físico italiano Galileo Galilei observó que el periodo de oscilación es independiente de la amplitud, al menos para pequeñas oscilaciones. En cambio, aquel depende de la longitud del hilo. El período de la oscilación de un péndulo simple restringido a oscilaciones de pequeña amplitud puede aproximarse por:

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\ell \over g}}}$

Para oscilaciones mayores la relación exacta para el período no es constante con la amplitud e involucra integrales elípticas de primera especie:

${\displaystyle T=4{\sqrt {\ell \over g}}K\left(\sin {\frac {\varphi _{0}}{2}}\right)=4{\sqrt {\ell \over g}}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}\sin ^{2}\theta }}}}$

Donde φ₀ es la amplitud angular máxima. La ecuación anterior puede desarrollarse en serie de Taylor obteniéndose una expresión más útil:

${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\ell \over g}}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\varphi _{0}}{2}}+\dots \right]}$

Solución de la ecuación de movimiento

Para pequeñas oscilaciones la amplitud es casi senoidal, para amplitudes más grandes la oscilación ya no es senoidal. La figura muestra un movimiento de gran amplitud ${\displaystyle \phi _{0}=0,999\pi }$ (negro), junto a un movimiento de pequeña amplitud ${\displaystyle \phi _{0}=0,25\pi }$ (gris).

Para amplitudes pequeñas, la oscilación puede aproximarse como combinación lineal de funciones trigonométricas. Para amplitudes grandes puede probarse el ángulo puede expresarse como combinación lineal de funciones elípticas de Jacobi. Para ver esto basta tener en cuenta que la energía constituye una integral de movimiento y usar el método de la cuadratura para integrar la ecuación de movimiento:

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {m}{2}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {ld\theta }{\sqrt {E-U(\theta )}}}=}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {l}{2g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\cos \theta -\cos \phi _{0}}}}={\sqrt {\frac {l}{4g}}}\int _{0}^{\phi (t)}{\frac {d\theta }{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\phi _{0}}{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}}$

Donde, en la última expresión se ha usado la fórmula del ángulo doble y donde además:

${\displaystyle E=-mgl\cos \phi _{0}\;}$, es la energía, que está relacionada con la máxima amplitud ${\displaystyle \phi _{0}\;}$.

${\displaystyle U(\phi )=-mgl\cos \phi \;}$, es la energía potencial.

Realizando en variable ${\displaystyle \sin \xi ={\frac {\sin {\frac {\theta }{2}}}{\sin {\frac {\phi _{0}}{2}}}}\;}$, la solución de las ecuaciones del movimiento puede expresarse como:

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int _{0}^{\Phi }{\frac {d\xi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\phi _{0}}{2}}\sin ^{2}\xi }}}\Rightarrow \qquad \phi (t)=2\arcsin \left({\mbox{sn}}\ {\sqrt {\frac {g}{l}}}t\cdot \sin {\frac {\phi _{0}}{2}}\right)}$

Donde:

${\displaystyle {\mbox{sn}}(t)\;}$, es la función elíptica de Jacobi tipo seno.

${\displaystyle \sin \Phi ={\frac {\sin {\frac {\phi (t)}{2}}}{\sin {\frac {\phi _{0}}{2}}}}}$

El lagrangiano del sistema es ${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-V={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}-mgl\cos {\theta }}$, donde ${\displaystyle \theta }$ es el ángulo que forma la cuerda del péndulo a lo largo de sus oscilaciones (es la variable), y ${\displaystyle l}$ es la longitud de la cuerda (es la ligadura). Si se aplican las ecuaciones de Lagrange se llega a la ecuación final del movimiento: ${\displaystyle l^{2}{\ddot {\theta }}+gl\sin {\theta }=0}$. Es decir, la masa no influye en el movimiento de un péndulo.