Oscilador armónico

Se dice que un sistema cualquiera, mecánico, eléctrico, neumático, etc., es un oscilador armónico si, cuando se deja en libertad fuera de su posición de equilibrio, vuelve hacia ella describiendo oscilaciones sinusoidales, o sinusoidales amortiguadas en torno a dicha posición estable.

La masa colgada del resorte forma un oscilador armónico.

El ejemplo es el de una masa colgada a un resorte. Cuando se aleja la masa de su posición de reposo, el resorte ejerce sobre la masa una fuerza que es proporcional al desequilibrio (distancia a la posición de reposo) y que está dirigida hacia la posición de equilibrio. Si se suelta la masa, la fuerza del resorte acelera la masa hacia la posición de equilibrio. A medida que la masa se acerca a la posición de equilibrio y que aumenta su velocidad, la energía potencial elástica del resorte se transforma en energía cinética de la masa. Cuando la masa llega a su posición de equilibrio, la fuerza será cero, pero como la masa está en movimiento, continuará y pasará del otro lado. La fuerza se invierte y comienza a frenar la masa. La energía cinética de la masa va transformándose ahora en energía potencial del resorte hasta que la masa se para. Entonces este proceso vuelve a producirse en dirección opuesta completando una oscilación.

Si toda la energía cinética se transformase en energía potencial y viceversa, la oscilación seguiría eternamente con la misma amplitud. En la realidad, siempre hay una parte de la energía que se transforma en otra forma, debido a la viscosidad del aire o porque el resorte no es perfectamente elástico. Así pues, la amplitud del movimiento disminuirá más o menos lentamente con el paso del tiempo. Se empezará tratando el caso ideal, en el cual no hay pérdidas. Se analizará el caso unidimensional de un único oscilador (para la situación con varios osciladores, véase movimiento armónico complejo).

Casos

Oscilador armónico sin pérdidas

Se denominará a la distancia entre la posición de equilibrio y la masa, a la que se le dominara . Se supondrá que la fuerza del resorte es estrictamente proporcional al desequilibrio: ( ley de Hooke). es la fuerza y la constante elástica del resorte. El signo negativo indica que cuando es positiva la fuerza está dirigida hacia las negativas.

La segunda ley de Newton nos dice:

remplazando la fuerza obtenemos:

La solución de esta ecuación diferencial ordinaria es inmediata: las únicas funciones reales (no complejas) cuya segunda derivada es la misma función con el signo invertido son seno y coseno. Las dos funciones corresponden al mismo movimiento. Escogemos arbitrariamente "coseno". La solución se escribe:

La curva de arriba da la posición del oscilador en función del tiempo. La del medio da la velocidad. Abajo están las curvas de las energías. En azul está la energía cinética y en rojo la energía potencial del resorte
  • es la elongación o diferencia respecto al estado de equilibrio, sus unidades son las de .
  • es la amplitud, máxima diferencia respecto a la posición de equilibrio.
  • es la pulsación (o frecuencia angular) y la frecuencia.
  • es el tiempo.
  • es la fase inicial (para ).

Es fácil comprobar que el valor de es:

El período de oscilación es:

Como ya hemos dicho, durante un cuarto de una oscilación la energía potencial se transforma en energía cinética. Durante otro cuarto, la energía cinética se transforma en energía potencial. En la figura de la derecha se ha trazado la posición en función del tiempo (curva de arriba), la velocidad en función del tiempo (en medio) y las energías potenciales y cinéticas (abajo).

Oscilador armónico amortiguado

Oscilador armónico con amortiguador. La fuerza viscosa es proporcional a la velocidad.

Es el caso de rozamientos secos: la fuerza no depende ni de la velocidad ni de la posición. Otra situación que se produce en la realidad es que la fuerza sea proporcional a la velocidad elevada a una potencia, entera o no. Así sucede cuando la fuerza que frena proviene de la viscosidad o de las pérdidas aerodinámicas. Se tratará únicamente el caso más simple, es decir, cuando la fuerza sea proporcional a la velocidad. En este caso la fuerza será:

Donde es un coeficiente que mide el amortiguamiento debido a la viscosidad. Si es pequeño, el sistema está poco amortiguado. Nótese el signo negativo que indica, como antes, que si la velocidad es positiva, la fuerza tiene la dirección superior opuesta a la velocidad de la luz. Con este término complementario la ecuación diferencial del sistema es:

Se trata de una ecuación diferencial ordinaria, lineal, de segundo orden[1] (contiene derivadas segundas) y homogénea (no hay término independiente de ). Tiene tres tipos de soluciones según el valor de :

  • Si el sistema está sobreamortiguado (amortiguamiento fuerte o supercrítico)
  • Si el sistema tiene amortiguamiento crítico.
  • Si el sistema oscila con amplitud decreciente (amortiguamiento débil o subcrítico)

Oscilador sobreamortiguado

Posición en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado.
curva azul: amortiguamiento crítico.
curva roja: amortiguamiento doble que el crítico.
curva verde: amortiguamiento igual a 90% del amortiguamiento crítico.

En este caso el sistema no es realmente un oscilador, ya que no oscila. La solución es de la forma:

donde los coeficientes de las exponenciales son menores que cero y reales (por lo que no hay oscilación):

y

y dependen de las condiciones iniciales (es decir, de la situación del sistema para ). La posición no es oscilante y tiende hacia la posición de equilibrio de manera asintótica. Las dos exponenciales decrecientes de las soluciones tienen constantes de tiempo diferentes. Una es pequeña y corresponde a la rápida cancelación del efecto de la velocidad inicial. La segunda es más grande y describe la lenta tendencia hacia la posición de equilibrio.

Oscilador con amortiguamiento crítico

Este caso es el límite entre un sistema oscilante y uno no oscilante. Ocurre cuando

La solución única es:

como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. (siendo A1 la posición inicial y A2 La velocidad inicial)

El amortiguamiento crítico corresponde a la tendencia más rápida hacia la situación de equilibrio cuando no sobrepasa esa posición. Si se disminuye un poco el amortiguamiento el sistema se acerca más rápidamente a la posición de equilibrio, pero sobrepasando la posición oscila en torno a ese punto (tomando valores positivos y negativos).

Oscilador con amortiguamiento débil

Oscilaciones amortiguadas. La amplitud de la sinusoide está controlada por la exponencial.

En este caso, que es más interesante, tenemos un oscilador que oscila alrededor de la posición de equilibrio con amplitud decreciente. Sucede cuando:

La solución es:

como antes, y son constantes que dependen de las condiciones iniciales. La pulsación es:

La pulsación del sistema amortiguado es un poco menor que la pulsación del sistema no amortiguado porque la fuerza que lo amortigua, frena la masa y la retarda.

La oscilación del sistema está descrita por una sinusoide de frecuencia cuya amplitud está multiplicada por una exponencial decreciente cuya constante de tiempo es .

Factor de calidad Q

En un sistema poco amortiguado es interesante de definir el factor de calidad (Quality factor en inglés) o simplemente Q como:

esta cantidad es igual a veces el inverso de las pérdidas relativas de energía por período. Así, un sistema que pierde 1% de energía a cada ciclo, tendrá un Q de 628. Más interesante, Q es también veces el número de oscilaciones que el sistema hace mientras su amplitud se divide por un factor . Si se puede aceptar una aproximación más grosera, Q es 3 veces el número de oscilaciones que un sistema hace mientras su amplitud cae a 1/3 de la amplitud inicial.

Como ejemplos, el Q de un vehículo con los amortiguadores en buen estado es un poco más grande que 1. El Q de una cuerda de guitarra es de varios miles. El Q de los cristales de cuarzo utilizados en electrónica como referencia de frecuencia es el orden de 1 millón. Una copa de vidrio ordinario tiene un Q mucho más pequeño que una copa de vidrio de plomo (cristal).

Oscilaciones forzadas

Podemos iniciar el movimiento un oscilador armónico desplazándolo de su posición de equilibrio y abandonándolo a su oscilación libre (ver párrafos precedentes).

Alternativamente, podemos aplicarle una fuerza cuya intensidad varíe de manera sinusoidal con el tiempo. En esta situación, la ecuación diferencial lineal es inhomogénea. La solución a este tipo de ecuación está formada por dos términos: la solución general del sistema homogéneo más una solución particular del caso inhomogéneo.[2] Por tanto, la solución está formada por dos partes, una parte transitoria (que se anula pasado cierto tiempo), similar a las que vimos en los párrafos precedentes, más una parte estacionaria. La solución de la parte transitoria es la misma la que ya hemos visto (ecuación homogénea). Las únicas diferencias son las condiciones iniciales y finales, que no son idénticas. Vamos a interesarnos a la solución estacionaria. En la ecuación diferencial del sistema hay que añadir la fuerza sinusoidal:

Para resolver esta ecuación es más interesante utilizar el mismo método que en electricidad y electrónica. Para ello, se añade a la fuerza real una fuerza imaginaria. Como en electrónica, se utiliza en lugar de i. Ahora la ecuación a resolver es:

Pero por supuesto, como en electricidad, sólo la parte real de y será de interés. La solución es inmediata:

Si se deriva esta expresión y se sustituye en la ecuación diferencial, se encuentra el valor de A:

Pero A puede escribirse como y la solución de compleja es:

El valor de real es la parte real de la expresión precedente:

donde es el módulo de y su argumento:

Como en electricidad, el ángulo da el desfase del movimiento con respecto a la fuerza externa. Si es positivo, el movimiento está en avance de fase y si es negativo el movimiento está en retardo de fase. En este caso el desfase será siempre negativo.

Respuesta en frecuencia

La amplitud de las oscilaciones forzadas dependerá, por supuesto, de la amplitud de la fuerza externa. Pero para una misma amplitud de la fuerza, la amplitud de la oscilación dependerá también de la frecuencia. Veamos como varia la amplitud con . Utilizando la definición de frecuencia propia del sistema (sin amortiguamiento ni fuerza externa):

Respuesta en frecuencia de un oscilador armónico. A la frecuencia de resonancia, la amplitud es Q veces más grande que a muy baja frecuencia.

se puede escribir:

Si además se utiliza la definición de , se obtiene:

En el dibujo de derecha se ha representado la amplitud de la oscilación forzada en función de la frecuencia para varios valores del factor de calidad Q. A muy baja frecuencia la amplitud es la misma que si la fuerza fuese estática , y el sistema oscilará entre las posiciones y . Cuando la frecuencia aumenta, la amplitud también, alcanzando un máximo cuando la frecuencia de excitación es igual a la frecuencia propia del sistema. A esa frecuencia propia también se le llama frecuencia de resonancia. También se dice que un sistema excitado a una frecuencia próxima a la frecuencia de resonancia "resuena" o "entra en resonancia". A la frecuencia de resonancia, la amplitud de las oscilaciones será Q veces más grande que la que se obtiene en baja frecuencia.

El ancho del pico de resonancia a media altura, es decir cuando la amplitud es igual a la mitad del máximo, es igual a la frecuencia de resonancia dividida por Q. Ese ancho también se llama banda pasante.

Oscilador forzado y caos

El oscilador armónico no perturbado en una dimensión es un ejemplo de sistema integrable, con comportamiento regular. Sin embargo, el oscilador armónico perturbado puede presentar un comportamiento caótico[3] caracterizado por un atractor extraño. Por ejemplo en el caso de una perturbación de tipo la ecuación de movimiento es:

Este sistema es no integrable y el movimiento tiende rápidamente hacia el llamado atractor de Duffing.[4]

Oscilador de van der Pol

Comportamiento caótico en el oscilador de van der Pol con excitación sinusoidal. μ = 8.53, mientras que la excitación externa tiene amplitud A = 1.2 y frecuencia angular ω = 2π / 10.

El oscilador de van der Pol es un caso especial de oscilador con amortiguamiento no lineal, que responde a la ecuación:

Fue descrito por primera vez en 1935 por Balthasar van der Pol[5] y presenta comportamiento caótico.

Oscilador armónico torsional

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