Ortogonalidad (matemáticas)

Tres planos ortogonales

En matemáticas, el término ortogonalidad (del griego ortos —recto— y gonos —ángulo—) es una generalización de la noción geométrica de perpendicularidad. En el espacio euclídeo convencional el término ortogonal y el término perpendicular son sinónimos. Sin embargo, en espacios de dimensión finita y en geometrías no euclídeas el concepto de ortogonalidad generaliza al de perpendicularidad.

Ortogonalidad en espacios vectoriales

Definición

Formalmente, en un espacio vectorial con producto interior V, dos vectores e son ortogonales si el producto escalar de es cero. Esta situación se denota . Además, un conjunto A se dice que es ortogonal a otro conjunto B, si cualquiera de los vectores de A es ortogonal a cualquiera de los vectores del conjunto B.

Ortogonalidad y perpendicularidad

En geometría euclídea se tiene, dos vectores e ortogonales forman un ángulo recto, los vectores y lo son ya que, . En espacios no euclídeos puede definirse de modo abstracto el ángulo entre dos vectores a partir del producto interior.

Ortogonalidad respecto de una matriz (A-ortogonalidad)

Dados dos vectores y pertenecientes a un espacio vectorial de dimensión y una matriz de dimensión , si el productor escalar , notado , es igual a cero, se dice que y son ortogonales respecto a la matriz o A-ortogonales. Un conjunto de vectores se dice que forma una base A-ortonormal si para todo .

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