Operación matemática

Operadores suma, resta, multiplicación y división.

En álgebra, una operación es la aplicación de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

En aritmética y cálculo el conjunto de partida puede estar formado por elementos de un único tipo (las operaciones aritméticas actúan sólo sobre números) o de varios (el producto de un vector por un escalar engloba al conjunto unión de vectores y escalares que conforman un espacio vectorial).

Dependiendo de cómo sean los conjuntos implicados en la operación con respecto al conjunto considerado principal según nuestras intenciones podemos clasificar las operaciones en dos tipos: internas y externas.


Propiedades de las operaciones

  • La operación de adición (+)
    • se escribe
    • es conmutativa:
    • es asociativa:
    • tiene una operación inversa llamada sustracción: , que es igual a sumar el Opuesto,
    • tiene un elemento neutro 0 que no altera la suma:
  • La operación de multiplicación (×)
    • se escribe o
    • es una adición repetida (n veces)
    • es conmutativa: =
    • es asociativa:
    • se abrevia por yuxtaposición:
    • tiene una operación inversa, para números diferentes a cero, llamada división: , que es igual a multiplicar por el recíproco,
    • tiene un elemento neutro 1 que no altera la multiplicación:
    • es distributiva respecto la adición:
  • La operación de potenciación
    • se escribe
    • es una multiplicación repetida: (n veces)
    • no es ni comutativa ni asociativa: en general y
    • tiene una operación inversa, llamada logaritmo:
    • puede ser escrita en términos de raíz n-ésima: y por lo tanto las raíces pares de números negativos no existen en el sistema de los números reales. (Ver: sistema de números complejos)
    • es distributiva con respecto a la multiplicación:
    • tiene la propiedad:
    • tiene la propiedad: [1]

Orden de las operaciones

Para completar el valor de una expresión, es necesario calcular partes de ella en un orden particular, conocido como el orden de prioridad o el orden de precedencia de las operaciones. Primero se calculan los valores de las expresiones encerradas en signos de agrupación (paréntesis,

corchetes, llaves), luego las de exponenciaciones, luego las multiplicaciones y divisiones y, por último, las sumas y las restas.

Propiedades de la igualdad

La relación de igualdad (=) es:

  • reflexiva:
  • simétrica: si entonces
  • transitiva: si y entonces

Leyes de la igualdad

La relación de igualdad (=) tiene las propiedades siguientes:

  • si y entonces y
  • si entonces
  • si dos símbolos son iguales, entonces uno puede ser sustituido por el otro.
  • regularidad de la suma: trabajando con números reales o complejos sucede que si entonces .
  • regularidad condicional de la multiplicación: si y no es cero, entonces .

Leyes de la desigualdad

La relación de desigualdad (<) tiene las siguientes propiedades:

  • de transitividad: si y entonces
  • si y entonces
  • si y entonces
  • si y entonces

Regla de los signos

En el producto y en el cociente de números positivos (+) y negativos (-) se cumplen las siguientes reglas:

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