Numeración en base constante

Sea b un entero superior a uno. Escribir un entero n en la base b significa descomponerlo en las potencias de b, es decir determinar los coeficientes ( también llamados cifras) ak tales que:

  • 0 ≤ ak ≤ b-1
  • n es la suma de los akbk, con k > 0.

Sistemas de base constante.

La base más usada

Bien es sabido que el sistema vigente por doquier es el decimal; es decir que se emplea la base diez: b = 10. La escritura de cualquier entero utiliza las potencias de 10 así:

1492 = 1000 + 400 + 90 + 2 = 1×1000 + 4×100 + 9×10 + 2×1 = 1x103 + 4x102 + 9x101 + 2x100 .

Para pasar de las unidades a las decenas, y de las decenas a las centenas, se multiplica por el mismo número, aquí diez, por eso se dice que el sistema es la numeración en base constante.

Otras bases presentes en la historia del hombre

Se ha empleado la numeración en base constante, con otras bases que diez, principalmente las bases cinco (los Aztecas) y veinte. Quedan rastros del empleo de la base veinte en algunos idiomas occidentales, como el francés (ochenta se dice quatre-vingts es decir cuatro veintes, ya que la palabra huitante se emplea en Suiza y Bélgica),[1] en danés (para los números 50, 60 y 70), en inglés (score, una veintena, two-score, three-score, four scores para ochenta), y en latín (donde 18 no se decía 10 + 8 sino 20 - 2).

Posible motivo de su utilización

Se cree que la elección de las bases 5, 10 ó 20 se debe a causas biológicas, pues el hombre siempre contó con los dedos (hasta de los pies).[2]

Una base cobra vigencia en el Siglo XX

Por la mitad del siglo XX, se descubrió un interés descomunal por la base dos o base binaria, pues tiene la ventaja de necesitar solamente dos cifras, 0 y 1. Esto debido al desarrollo del cálculo electrónico y el procesamiento de datos. El sistema encaja bien con los dos estados de un circuito electrónico: sin corriente o con corriente. El sistema binario puro tiene la ventaja de ser sencillo, pero su principal inconveniente reside en que la expresión de un número en base 2 es muy extensa.

La técnica adapta el código binario a expresiones más cortas

Reagrupando las cifras por cuatro o por cinco se obtiene la base hexadecimal (base dieciséis) y la base treinta y dos. Cuando se trabaja en una base superior a diez, se tiene que inventar nuevas cifras, para notar los números que van de diez a b-1 (b sigue siendo la base). Por ejemplo, cuando se emplea la base doce, se añade las cifras alfa y beta para diez y once. Para la base hexadecimal, la costumbre es utilizar las letras mayúsculas A, B, ... F.

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