Número triangular

Se muestran los seis primeros números triangulares, así como su término general. Además de la denotación expuesta, un número triangular puede indicarse poniendo entre paréntesis el lado del triángulo correspondiente. Por ejemplo, el 10 es el número triangular de lado 4, es decir, T(4)=10.

Un número triangular es aquel que puede recomponerse en la forma de un triángulo equilátero (por convención, el primer número triangular es el 1). Los números triangulares, junto con otros números figurados, fueron objeto de estudio por Pitágoras y los Pitagóricos, quienes consideraban sagrado el 10 escrito en forma triangular, y al que llamaban Tetraktys.

Definición formal

Cada número triangular Tn está definido por la siguiente fórmula:

Teorema. La suma de T n y Tn-1 es un cuadrado perfecto o, si se quiere usar la terminología pitagórica, un número cuadrado.

Demostración

Sean:

sumando:

es decir:

quedando demostrado lo propuesto. Podemos comprobarlo con dos números triangulares consecutivos cualesquiera, por ejemplo, con T3 = 6 y T4 = 10.

Efectivamente,

Suma de dos números triangulares iguales: número oblongo

La suma de dos números triangulares iguales nos da un número oblongo, que conforma la figura de un romboide. Veamos su término general:

que es la expresión buscada. En la figura se observa cómo del número triangular T4 resulta el número oblongo de (5·4) puntos.

Suma de los primeros números triangulares

La suma de los n primeros números triangulares es también conocida como número tetraédrico, así el enésimo número tetraédrico es la suma de los primeros n números triangulares. Su expresión es:

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