Número transfinito

En teoría de conjuntos, número transfinito es el término original que el matemático alemán Georg Cantor introdujo para referirse a los ordinales infinitos, que son mayores que cualquier número natural.

En la terminología moderna, al referirse a ordinales o cardinales, «transfinito» e « infinito» son sinónimos.[1]

Primeros números transfinitos

Al igual que con los números naturales, puede pensarse en los números transfinitos como cardinales u ordinales:

  • ω (omega): es el menor ordinal transfinito. Sus elementos son los números naturales, tal y como son construidos en teoría de conjuntos, y representa el tipo de orden de estos.
  • 0, alef-0: es el primer número alef, y el primer cardinal transfinito (asumiendo el axioma de elección). Es conjuntísticamente idéntico a ω, pero se utilizan notaciones diferentes para resaltar el aspecto ordinal o cardinal de los conjuntos numerables.
  • 1, alef-1: es el segundo número alef, y el cardinal siguiente a 0 (asumiendo el axioma de elección).
  • c = 20: es el cardinal del continuo, el número cardinal de los puntos de una recta o de los números reales.

Asumiendo el axioma de elección, todo lo que puede demostrarse con los axiomas de Zermelo-Fraenkel es:

La hipótesis del continuo afirma que de hecho c = 1. Sin embargo, el trabajo de Gödel y Paul Cohen demuestra que la hipótesis es independiente de dichos axiomas: no puede ser refutada o demostrada a partir de ellos. Es decir, usando los axiomas de Zermelo-Fraenkel (ZF) puede comprobarse que los tres cardinales anteriores cumplen . La hipótesis del continuo afirma que de hecho . Gödel probó en 1938 que esta hipótesis es consistente con los axiomas ZF, y por tanto puede ser tomado como un axioma nuevo para la teoría de conjuntos. Sin embargo, en 1963 Paul Cohen probó que la negación de la hipótesis del continuo también es consistente con los axiomas ZF, lo cual prueba que dicha hipótesis es totalmente independiente de los axiomas ZF. Es decir, pueden construirse tanto "teorías de conjuntos cantorianas" (en las que la hipótesis del continuo es una afirmación cierta), como "teorías de conjuntos no cantorianas" (en las que la hipótesis del continuo sea falsa). Esta situación es similar a la de las geometrías no euclidianas.

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