Número primo de Mersenne

Se dice que un número M es un número de Mersenne si es una unidad menor que una potencia de 2.

Un número primo de Mersenne es un número de Mersenne que es primo, es decir, , con n primo (no es una condición suficiente que n sea primo para que lo sea). Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico-Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después. También compiló una lista de números primos de Mersenne con exponentes menores o iguales a 257, y conjeturó que eran los únicos números primos de esa forma. Su lista sólo resultó ser parcialmente correcta, ya que por error incluyó M67 y M257, que son compuestos, y omitió M61, M89, y M107, que son primos; y su conjetura se revelaría falsa con el descubrimiento de números primos de Mersenne más grandes. No proporcionó ninguna indicación de cómo dio con esa lista, y su verificación rigurosa sólo se completó más de dos siglos después.

Actualmente (enero de 2016), sólo se conocen 49 números primos de Mersenne, siendo el mayor de ellos M74 207 281 = 2 74 207 281−1, un número de más de veintidós millones de cifras. El número primo más grande que se conocía en una fecha dada casi siempre ha sido un número primo de Mersenne: desde que empezó la era electrónica en 1951 siempre ha sido así salvo en 1951 y entre 1989 y 1992.

Propiedades

Si n es compuesto, entonces Mn es compuesto.

Demostración
Si n es un número natural, por el teorema del binomio se tiene:

,

Tomando , y (a, b > 1), se tiene:

es mayor que 1 porque se ha procurado que es estrictamente mayor que 1, y la suma también lo es. Por tanto, se tiene una factorización de , así que es compuesto.

Observación: Por contraposición, si Mn es primo, entonces n es primo. Esto facilita la búsqueda de nuevos números primos de Mersenne Mn, ya que sólo hay que comprobar la primalidad de aquellos para los que n es primo.

Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida a 2p-1 debe ser uno más que un múltiplo de 2p.
Esta proposición también se cumple si es primo.

  • Ejemplo I: es primo, siendo:
31 = 6 · 5 + 1
  • Ejemplo II: , siendo:
23 = 2 · 11 + 1
89 = 8 · 11 + 1
2047 = 186 · 11 + 1

Demostración

Si q es un primo que divide , entonces ≡ 1 ( mod q). Por el Pequeño Teorema de Fermat, ≡ 1 (mod q). Supongamos que p que no divide a q − 1 para llegar a contradicción. Entonces, como p y q − 1 deben ser primos entre sí, una nueva aplicación del Pequeño Teorema de Fermat muestra que ≡ 1 (mod p). Por tanto, existe un número x tal que (q − 1)·x ≡ 1 (mod p), y por tanto un número k tal que (q − 1)·x − 1 = kp.

Como ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de la congruencia a la potencia x resulta ≡ 1, y como ≡ 1 (mod q), al elevar ambos lados de esta segunda congruencia a la potencia k resulta ≡ 1. Por tanto, 1≡ (mod q). Pero teníamos que (q − 1)xkp = 1, lo que implica que ≡ 1 (mod q); en otras palabras, que q divide 1. Con esto, la premisa inicial de que p no divide q − 1 es insostenible.

Por lo tanto, . Pero, además, este n tiene que ser par, porque es impar y todos sus divisores deben ser también impares. Com p era un primo impar, la única manera que esto ocurra es que y, finalmente, .

Si p es un número primo distinto de 2, cualquier primo q que divida es congruente con .

Demostración

, así que es una raíz cuadrada de 2 módulo .
Por reciprocidad cuadrática, cualquier módulo primo del cual 2 tenga raíz cuadrada es congruente con .

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