Número ordinal (teoría de conjuntos)

Representación del ordinal ωω. Cada vuelta alrededor de esta espiral representa una potencia entera de ω: la primera contiene a los números naturales 0, 1, 2, ... La segunda llega hasta ω2 pasando por cada ordinal ω·m + n, con m, n naturales; la tercera llega hasta ω3 pasando por cada ordinal ω2·m + ω·n + p; etc.

En teoría de conjuntos, un número ordinal, o simplemente ordinal, es un representante del tipo de orden de un conjunto bien ordenado. De este modo, los ordinales clasifican todos los posibles conjuntos bien ordenados. Fueron introducidos por Georg Cantor en 1897.

Los ordinales finitos (así como los cardinales finitos) son los números naturales 0, 1, 2,..., puesto que dos órdenes totales de un conjunto finito son isomorfos en cuanto al orden. Al primer ordinal infinito se le denota ω.

En el caso infinito, los ordinales ofrecen una distinción más fina que los cardinales, que sólo representan la cantidad de elementos. Así, mientras sólo existe un cardinal infinito numerable 0, existen infinitos ordinales infinitos y numerables:

que se corresponden con distintas maneras de ordenar el conjunto de los números naturales.

Introducción histórica

En su obra Fundamentos para una teoría general de conjuntos, Georg Cantor introdujo la idea de los números transfinitos como una generalización de los números naturales.[1]​ Observando la serie de los números naturales:

afirmaba que ésta descansa sobre «el principio de agregar una unidad a un número ya formado y disponible». A este principio, que Cantor denominó "primer principio de generación", se añadía la posibilidad de considerar un nuevo número, ω, mayor que todos los números naturales (que por supuesto no es ninguno de ellos), y aplicar de nuevo el primer principio

Esta segunda sucesión de «números» ω + n se prestaba igualmente a considerar un número mayor que toda ella, ω + ω = ω·2. En resumen, Cantor introducía el "segundo principio de generación", el cual

[...] dada una determinada sucesión de verdaderos números enteros definidos, entre los cuales no hay ninguno que sea el mayor de ellos, [...] se crea un nuevo número al que se concibe como límite de aquellos números, esto es, se define como el número inmediatamente mayor que todos ellos.

Esta sucesión puede entonces continuarse indefinidamente:

Usando esta serie de números transfinitos, Cantor pudo estudiar el concepto de número ordinal. Un número natural puede utilizarse para representar la posición dentro de una serie ordenada: 1.º, 2.º, 3.º,... Cantor descubrió que cualquier serie ordenada, finita o infinita, está «contenida» en la sucesión de números transfinitos (concretamente, cualquier serie bien ordenada). También dentro de esta serie se encuentran los números cardinales, que representan el «número de elementos» de un conjunto infinito.

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