Número hiperreal

Los números hiperreales son una extensión del conjunto de los números reales que permiten entre otros formalizar algunas operaciones con infinitésimos, y probar algunos resultados clásicos del análisis real de manera más sencilla.

El sistema de números hiperreales es una manera de tratar cantidades infinitas e infinitesimales. Los hiperreales o reales no estándar, , son una extensión de los números reales que contienen números mayores que

Tal número es infinito, y su recíproco infinitesimal. El término "hiper-real" fue presentado por Edwin Hewitt en 1948.[1]

Como estructura algebraica son un cuerpo no arquimediano y métricamente incompleto que contiene al conjunto arquimediano y completo identificable con los números reales. Formalmente pueden construirse de manera totalmente rigurosa a partir de una axiomatización de primer orden de los números reales. Dicha axiomatización es una teoría no categórica y por tanto admite varios modelos no isomorfos, uno de ellos los número reales estándar y otro de ellos identificable con los hiperreales. Además si se pretende evitar la teoría de modelos puede ampliarse la teoría de los números reales mediante un predicado abstracto (semánticamente interpretable como "x es un número real estándar") y tres axiomas adicionales que describen dicho predicado (estos predicados permiten caracterizar la diferencia entre un número real estándar y uno hiperreal no convencional).

Historia

El concepto de número hiperreal proviene del análisis no estándar, dominio que fue desarrollado en los años 1970 por Abraham Robinson. El análisis no estándar pretende, y logra, justificar rigurosamente el empleo de números infinitos e infinitesimales. El conjunto de los reales más estos nuevos elementos se denominan números hiperreales y se designan por , cumpliéndose que .

De alguna manera, los antiguos matemáticos griegos emplearon una aproximación intuitiva a los números hiperreales, aunque de un modo totalmente intuitivo y no riguroso. Para estos matemáticos, una longitud a era infinitesimal comparada con b si multiplicándola por cualquier entero nunca se lograría superar a b: 2a, 3a, 4a... 1000a...n·a... son todos inferiores a b (con n un entero cualquiera). Esta definición es la negación misma de la propiedad fundamental que dice que el conjunto de los números reales es arquimediano.

Entre el renacimiento y el siglo XVIII se volvió a utilizar los infinitesimales y Gottfried Leibniz propuso una teoría, construida a partir de un número infinito «mayor que todos los enteros existentes». Esta teoría no tenía fundamentos lógicos sólidos, pero permitía hacer los cálculos que necesitaban los físicos, sobre todo en las ecuaciones diferenciales. El análisis no estándar formaliza las nociones de la aritmética de infinitesimales e infinitos de Leibniz como números hiperreales no estándar. Además de infinitesimales e ilimitados (infinitos), se definen los limitados (complemento del conjunto anterior) y apreciables (ni infinitésimos, ni ilimitados). A partir de estos cuatro conjuntos se tienen las siguientes reglas de Leibniz para las operaciones aritméticas de estos conjuntos:

+/- infinitesimal limitado apreciable ilimitado
infinitesimal infinitesimal limitado apreciable ilimitado
limitado limitado limitado limitado ilimitado
apreciable apreciable limitado limitado ilimitado
ilimitado ilimitado ilimitado ilimitado  ?

Para la multiplicación las reglas de Leibniz son las siguientes:

x infinitesimal limitado apreciable ilimitado
infinitesimal infinitesimal infinitesimal infinitesimal  ?
limitado infinitesimal limitado limitado  ?
apreciable infinitesimal limitado apreciable ilimitado
ilimitado  ?  ? ilimitado ilimitado

Estas reglas heurísticas se siguieron empleando hasta bien entrado el siglo XVIII, cuando se inventó y perfeccionó la teoría de los límites, que las hizo inútiles. Cauchy, Dedekind, Cantor, Weierstrass, Bolzano y Heine entre otros matemáticos se habían ocupado de precisar de una manera totalmente rigurosa los conceptos de continuidad y límite. Estos matemáticos desarrollaron un formalismo riguroso que permitía eliminar numerosas aporías y paradojas del análisis (ver por ejemplo 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·). El precio de este rigor fue un formalismo pesado y poco intuitivo, aunque más productivo y libre de contradicciones. Se soñó en los siglos XIX y XX con inventar unas matemáticas que darían cabida a los añorados números infinitos (grandes o pequeños).

La tentación era siempre añadir estas cantidades mal definidas al conjunto de los números reales, pero el problema era que se tenía entonces que averiguar si los teoremas vigentes en los reales eran o no válidos para los hiperreales. Naturalmente, nunca se logró, porque no era el método adecuado.

Other Languages