Número entero

La resta de dos números naturales no es un número natural cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, sino que su valor es negativo: en la imagen, solo pueden sustraerse 3 plátanos, por lo que se apunta un plátano «debido» o «negativo» (en rojo).

Un número entero es un elemento del conjunto numérico que contiene los números naturales , sus inversos aditivos y el cero.[1]​ Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que cero y todos los enteros positivos. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, se puede escribir un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Y si no se escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra letra inicial del vocablo alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

En la recta numérica encontramos los números negativos a la izquierda del cero y a su derecha los positivos.

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, siguiendo el modelo de los números naturales añadiendo unas normas para el uso del signo.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

Ciertas magnitudes como la temperatura o la altura usan valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

Historia

La primera alusión a los números negativos aparece en textos indios como el Arybhatiya del matemático indio Âryabhata (476-550) donde se definen las reglas de suma y resta. Los números negativos aparecen como representaciones de pagos y los números positivos como ingresos. También se empezaron a usar en China poco después, utilizando números negros para los beneficios y números rojos para las deudas. De donde viene la expresión "estar en números rojos" .

Unos siglos más tarde, en los escritos del matemático persa Abu l-Wafa (940-998), aparecen los productos de números negativos por números positivos. Sin embargo, el número aún permanece unido a las cantidades físicas y el número negativo casi no tiene sentido en la práctica. Al Khuwarizmi (783-850), por ejemplo, en su libro Transposición y reducción prefiere tratar 6 tipos de ecuaciones de segundo grado en lugar de considerar sustracciones.

En Europa, los números enteros aparecen tarde; generalmente atribuimos a Simon Stevin (1548-1620) la famosa regla de los signos para el producto de dos enteros. D'Alembert (1717-1783) mismo en la Encyclopédie considera el número entero como una idea peligrosa.

"Debemos confesar que no es fácil entender el concepto de cantidades negativas, y que algunas personas hábiles incluso han contribuido a confundirlo con las nociones inexactas que les han dado. Decir que la cantidad negativa es menos que nada es expresar algo que no se puede concebir. Aquellos que afirman que 1 no es comparable a -17, y que la relación entre 1 y -1 es diferente de la relación entre -1 y 1, están en un doble error [...] Entonces no hay nada real y absolutamente de cantidad negativa aislada: -3 tomado en abstracto no aporta a nuestro espíritu ninguna idea. "

D'Alembert, Diccionario de Ciencia, Artes y Oficios, vol. 11

Es necesario esperar otros dos siglos y ver el advenimiento del formalismo para ver una construcción formal del conjunto de enteros relativos de clases de equivalencia de pares de números naturales

Es a Richard Dedekind (1831-1916) a quien debemos esta construcción. Él mismo usó la letra K para denotar el conjunto de los enteros. Varias otras convenciones tuvieron lugar, hasta que Nicolas Bourbaki popularizó el uso de la letra Z, inicial del alemán Zahlen (números).

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