Número de Fermat

Un número de Fermat, nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el que formuló e investigó estos números, es un número natural de la forma:

donde n es natural. De particular interés son los números primos de Fermat.

Pierre de Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma

con n natural eran números primos (después de todo, los cinco primeros términos, 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4) lo son), pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:

4294967297 es el número más pequeño que, siendo número de Fermat, no es primo.

Actualmente, sólo se conocen cinco números primos de Fermat, que son los que ya se conocían en tiempos del propio Fermat, y, a fecha de enero de 2009 sólo se conoce la factorización completa de los doce primeros números de Fermat (desde n=0 hasta n=11). Estas son algunas de las conjeturas que existen hoy día sobre estos números:

  1. ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
  2. ¿Existen infinitos primos de Fermat?

Algunos números de Fermat y su factorización

Los nueve primeros números de Fermat son los siguientes:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65.537
F5 = 232 + 1 = 4.294.967.297
= 641 × 6.700.417
F6 = 264 + 1 = 18.446.744.073.709.551.617
= 274.177 × 67.280.421.310.721
F7 = 2128 + 1 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211.457
= 59.649.589.127.497.217 × 5.704.689.200.685.129.054.721
F8 = 2256 + 1 = 115.792.089.237.316.195.423.570.985.008.687.907.853.269.984.665.640.564.039.457.584.007.913.129.639.937
= 1.238.926.361.552.897 × 93.461.639.715.357.977.769.163.558.199.606.896.584.051.237.541.638.188.580.280.321
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