Número de Carmichael

En teoría de números, los números de Carmichael son los números compuestos n que satisfacen la congruencia

para todo entero primo relativo con .

Los números de Carmichael reciben su nombre por el matemático Robert Daniel Carmichael que los estudió.

Relevancia

El Teorema de Fermat establece que si p es un número primo, entonces la congruencia

es válida para cualquier número no divisible por .

Dicho de otra manera, si a no es divisible por p entonces p divide a ap-1-1:

.

Para determinar si un número n es primo o no, se escoge un número a que sea primo relativo con n y se calcula . Si el resultado es diferente a 1, el número es compuesto con toda certeza.

Desafortunadamente si el resultado es 1 no es posible asegurar a ciencia cierta que el número n es primo, ya que el inverso del teorema de Fermat no es válido: existen números compuestos a tales que . Estos números se denominan pseudoprimos en la base a, por lo que la prueba propuesta no es en realidad una verdadera prueba de primalidad.

Los números de Carmichael son entonces números pseudoprimos en cualquier base: son los números para los que la prueba anterior falla para cualquier elección de base que sea primo relativo con el número dado.

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