Número de Bernoulli

En matemáticas, los números de Bernoulli (denotados por y, a veces, por con el fin de distinguirlos de los números de Bell) constituyen una sucesión de números racionales con profundas conexiones en teoría de números.

Fueron llamados así por Abraham de Moivre, en honor de Jakob Bernoulli, primer matemático que los estudió. Los números de Bernoulli también aparecen en la expansión de las funciones tangente y tangente hiperbólica mediante series de Taylor, en la fórmula de Euler-Maclaurin y en las expresiones de ciertos valores de la función zeta de Riemann.

Introducción

Históricamente, surgieron de los intentos de obtener una forma cerrada de la suma de potencias de números naturales:

Las formas cerradas de la expresión son siempre polinomios en de orden . Se obtuvo una de dichas formas mediante polinomios de Bernoulli y otra mediante el uso de números de Bernoulli:

  • Y los polinomios de Bernoulli se pueden calcular a partir de esta fórmula:

Donde los son los números de Bernouilli. Y sabiendo que , los demás números se calculan mediante la siguiente fórmula recursiva:

Por ejemplo, si , tenemos que:

El primer algoritmo para la generación automática de números de Bernoulli fue descrito por primera vez por Ada Byron en sus notas sobre la máquina analítica de Charles Babbage a principios del siglo XVIII.

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