Número cardinal (teoría de conjuntos)

Comparación de los cardinales numerable y continuo. Cada sucesión binaria, compuesta por una cantidad numerable de «decimales binarios», corresponde a un punto del segmento entre 0 y 1. El «número» de decimales en cada sucesión es 0. El «número» de puntos en el segmento es 20: dos posibilidades (0 ó 1) para cada decimal de cada sucesión.

En teoría de conjuntos, un número cardinal o cardinal es una generalización de los números naturales para contar el número de elementos, la cardinalidad, de cualquier conjunto, finito o infinito. El cardinal de un conjunto finito es un número natural ordinario. El cardinal de un conjunto infinito es un número transfinito. Los cardinales clasifican los conjuntos de manera más «tosca» que los números ordinales, que distinguen no sólo el número de elementos de un conjunto sino también la manera en la que están ordenados.

Los cardinales se definen mediante la noción de equipotencia, que relaciona dos conjuntos si «tienen el mismo número de elementos». Establecida esta relación, los cardinales son representantes de todos los tamaños posibles para un conjunto. Puede demostrarse que existen conjuntos infinitos con distinto tamaño. Por ejemplo, los conjuntos de los números naturales y de los números reales no tienen el mismo cardinal. De hecho es necesaria una colección infinita de números transfinitos para clasificar todos los conjuntos infinitos.

Existe una sucesión infinita de cardinales:

que empieza con los números naturales (con cero), y continúa con los números alef, que son cardinales de conjuntos bien ordenados. Cada alef tiene un índice, un cierto número ordinal, que indica su posición dentro de la serie. Dependiendo de si se asume el axioma de elección o no, los alefs agotan todos los cardinales posibles o no.

Introducción

Para comparar el tamaño de dos conjuntos finitos basta con contar sus elementos y contrastar el resultado. En el siglo XIX, Georg Cantor halló una manera de efectuar esta comparación aun cuando los conjuntos involucrados sean infinitos. Para ello, propuso poner los elementos de ambos conjuntos en parejas (estableciendo una correspondencia): de este modo, si todos quedan emparejados sin que sobre ni falte ninguno se dice que son equipotentes.

Por ejemplo, los números naturales N = {0, 1, 2, ...} y los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...} son ambos conjuntos infinitos. En particular, los naturales son un subconjunto de los enteros, N Z. Esto podría sugerir que el tamaño del conjunto de los naturales es menor que el de los enteros. Sin embargo, ambos conjuntos son equipotentes ya que pueden emparejarse como sigue:

A cada natural n le corresponde el entero −n/2 si n es par, y el entero (n + 1)/2 si n es impar.

Sin embargo, Cantor descubrió que no todos los conjuntos infinitos son equipotentes. Por ejemplo, el conjunto de los números reales R (o el conjunto de puntos en una recta) es infinito y no numerable, por lo que no es equipotente al conjunto de los números naturales y es de mayor tamaño.

Cantor asignó entonces un número cardinal a cada conjunto infinito, un cierto objeto que representaba su tamaño, de modo que dos conjuntos serían equipotentes cuando les correspondiera el mismo cardinal. De este modo, extendió los números naturales como representantes de la cardinalidad de los conjuntos finitos.

Other Languages