Número armónico

El número armónico con (gráfica roja) con su límite asintótico (gráfica azul).

En matemáticas, se define el n-ésimo número armónico como la suma de los recíprocos de los primeros n números naturales:


Éste también es igual a n veces el inverso de la media armónica.

Los números armónicos han sido estudiados desde la antigüedad y son importantes en muchas ramas de la teoría de números. A veces se denomina vagamente serie armónica. Están íntimamente relacionados con la función zeta de Riemann, y aparecen en diversas expresiones de funciones especiales.


Representación

La primera representación, en forma integral, fue dada por Leonhard Euler:

En esta representación es fácil mostrar que se satisface una relación recursiva mediante la fórmula

y luego

dentro de la integral.

Para los números naturales, Hn también se puede representar como:


Hn crece igual de rápido que el logaritmo natural de n. La razón es que la suma está aproximada por la integral

cuyo valor es log(n). Concretamente, tenemos el siguiente límite:

(donde γ es la constante de Euler-Mascheroni 0.5772156649...).

Y también, como la correspondiente expansión asintótica:

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