Número abundante

En matemáticas, un número abundante o número excesivo es un número x para el cual σ(x) > 2x. Aquí σ(x) es la función divisor, esto es, la suma de todos los divisores positivos de x, incluido el propio x. El valor σ(x) − 2x es conocido como la abundancia de x. Una definición equivalente es que los divisores propios del número (todos los divisores excepto el propio número) sumen más que dicho número.

Unos pocos de los primeros números abundantes son:

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …

A modo de ejemplo, consideremos el número 24. Sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 cuya suma es 60. Puesto que 60 es mayor que 2×24=48, el número 24 es abundante. Y su abundancia es 60 − 2 × 24 = 12.

El número abundante impar más pequeño es 945. Marc Deléglise mostró en 1998 que la densidad natural de los números abundantes se encuentra entre 0,2474 y 0,2480.

Existen infinitos números abundantes pares e impares. Cualquier múltiplo propio de un número perfecto, y cualquier múltiplo de un número abundante es abundante. También, cualquier entero mayor que 20.161 puede ser escrito como la suma de dos números abundantes. Un número abundante que no es un número semiperfecto se llama número extraño; y un número abundante con abundancia 1 se llama número quasiperfecto.

Estrechamente relacionados con los números abundantes están los números perfectos con σ(x) = 2x, y los números deficientes con σ(x) < 2x. Los números naturales fueron clasificados por primera vez como deficientes, perfectos o abundantes por Nicómaco de Gerasa en su Introductio Arithmetica.

Véase también

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