Movimiento armónico complejo

Un movimiento armónico complejo es un movimiento superposición lineal de movimientos armónicos simples. Aunque un movimiento armónico simple es siempre periódico, un movimiento armónico complejo no necesariamente es periódico, aunque sí puede ser analizado mediante análisis armónico de Fourier. Un movimiento armónico complejo es periódico sólo si es la combinación de movimientos armónicos simples cuyas frecuencias son todas múltiplos racionales de una frecuencia base.

Cinemática de un movimiento armónico complejo

Un sistema que presenta oscilaciones armónicas con n grados de libertad en general tiene elongaciones Xi o movimientos a lo largo de direcciones independientes de la forma:

( 1a)

O más detalladamente:

( 1b)

Donde, son las frecuencias propias del sistema, las fases iniciales. Cada uno de los vectores columna de la matriz A se llama modo propio de vibración, y los Ci son las amplitudes relativas de cada modo propio. Puede verse que para n = 1 un movimiento armónico complejo es simplemente una suma de movimientos armónicos simples:

La velocidad y la aceleración de un movimiento armónico complejo general se obtienen derivando respecto al tiempo y también resultan ser movimientos armónicos complejos, composición de movimientos de las misma frecuencias propias. Aunque ahora no tienen por qué existir puntos de velocidad cero, como sucede en el movimiento armónico simple.

Periodicidad

Un movimiento se dice periódico cuando se repite a intervalos regulares de tiempo; esto es, si después de cierto intervalo de tiempo constante, vuelve a pasar por la misma posición y con la misma velocidad. La periodicidad requiere que el vector de posiciones x(t) = x(t+T) para todo t y para algún valor de T. Para el caso de un movimiento armónico complejo como (1a) eso requiere que, para todo i,

La periodicidad tan sólo es posible si para cualesquiera frecuencias su cociente es un número racional. Siendo como es que los números racionales son un conjunto de medida cero o conjunto nulo, la probabilidad de que el cociente de todas las frecuencias sea un número racional es cero y, por tanto, los movimientos armónicos complejos reales son cuasiperiódicos, pero no periódicos.

Ecuación de movimiento

El movimiento armónico complejo dado por (1a) o (1b) es solución de una ecuación de un problema de pequeñas vibraciones del tipo:

Donde:

, es la llamada matriz de masa que representa la inercia del sistema.
, es la llamada matriz de rigidez que representa la intensidad de las fuerzas de recuperación y son tanto mayores cuanto más rígido sea el sistema.

En el caso más general de un sistema con amortiguamiento lineal y fuerza de excitación interna la ecuación de movimiento es más general:

Donde se ha añadido una matriz que da cuenta del amortiguamiento.

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