Morfismo

En Teoría de las categorías una categoría viene dada por dos tipos de datos: una clase de objetos y, para cada par de objetos X e Y, un conjunto de morfismos desde X a Y. Los morfismos son frecuentemente representados como flechas entre esos objetos. En el caso de una categoría concreta, X e Y son conjuntos de cierto tipo y un morfismo f es una función desde X a Y satisfaciendo alguna condición; este ejemplo origina la notación f: XY. Pero no toda categoría es concreta, por tanto estos no son los únicos tipos de morfismos.

Variantes y subclases de morfismos

  • Todo objeto X en toda categoría tiene morfismo identidad idX que actúa como identidad bajo la operación de composición.
  • Si f : XY y g : YX satisfacen f ∘ g  =  idY, entonces f es una retracción y g es una sección (matemática).
  • Si f es tanto una retracción como una sección, entonces es un isomorfismo. En tal caso, los objetos X e Y deben pensarse como completamente equivalentes para la categoría C.
  • Un morfismo f : XX es un endomorfismo de X.
  • Un endomorfismo que es también un isomorfismo es un automorfismo.
  • Supóngase que dados g : YZ y h : YZ y toda vez que g ∘ f  =  h ∘ f, se sigue que g  =  h. Entonces f es un epimorfismo. Toda retracción debe ser un epimorfismo. También es llamado epi.
Un epimorfismo con inverso lateral es llamado un epimorfismo "split".
  • Supóngase que dados g : WX y h : WX y toda vez que f ∘ g  =  f ∘ h, se sigue que g  =  h. Entonces f es un monomorfismo. Toda sección debe ser un monomorfismo. También es llamado mono.
Un monomorfismo con inverso lateral es llamado un monomorfismo "split".
  • Si f es tanto un epimorfismo como un monomorfismo, f es un bimorfismo. Nótese que no todo bimorfismo es un isomorfismo. No obstante, todo morfismo que es tanto un epimorfismo como una sección, o mono y retracción, debe ser iso.
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