Morfismo

En varios campos de las matemáticas, se llaman morfismos (u homomorfismos) a las aplicaciones entre estructuras matemáticas que preservan la estructura interna. Por ejemplo, en teoría de conjuntos, los morfismos son las funciones entre conjuntos; en álgebra lineal, las transformaciones lineales; y en topología, las funciones continuas.

En teoría de categorías, el morfismo es una noción más general; una categoría viene dada por dos tipos de datos: una clase de objetos y, para cada par de objetos X e Y, un conjunto de morfismos desde X a Y. Los morfismos son frecuentemente representados como flechas entre esos objetos. En el caso de una categoría concreta, X e Y son conjuntos de cierto tipo y un morfismo f es una función desde X a Y satisfaciendo alguna condición; este ejemplo origina la notación f: XY. Pero no toda categoría es concreta, por tanto estos no son los únicos tipos de morfismos.

Definición

Los morfismos forman parte de la definición de categoría. Dentro de una categoría, cada morfismo tiene asociados dos objetos de la categoría, su dominio y su codominio, que se notan respectivamente por y .[1] Un morfismo con y suele notarse como .

Los morfismos dentro de una categoría deben cumplir además los siguientes axiomas:

  • para cada par de morfismos cumpliendo que , existe su composición . La composición es asociativa, cumpliendo que para cualesquiera morfismos componibles .
  • cada objeto consta de un morfismo identidad . Esta identidad es un elemento neutro respecto de la composición; es decir, se tendrá y en los casos en los que los morfismos sean componibles.
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