Modus tollendo tollens


El modus tollendo tollens ( latín: "el modo que, al negar, niega",[8]

La regla de inferencia modus tollendo tollens establece que si una primera afirmación implica una segunda afirmación; y la segunda afirmación no es verdadera; se puede  inferir que la primera no puede ser verdadera. Es decir, si implica ; y no es verdadera; entonces tampoco es verdadera.

Esta regla se puede afirmar formalmente como:

donde significa "P implica Q", significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, cada vez que "" y "" aparecen por sí mismas como líneas de una prueba, "" se puede colocar válidamente en una línea posterior.

Un ejemplo de modus tollendo tollens es:

Si está lloviendo, te espero dentro del teatro.
No te espero dentro del teatro.
Por lo tanto, no está lloviendo.

El modus tollendo tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens o silogismo disyuntivo. Estos comparten dos formas similares, pero no válidas, de argumento: afirmación del consecuente y negación del antecedente.

Notación formal

La regla del modus tollendo tollens puede escribirse de diversas formas.

Modus tollendo tollens en notación subsiguiente

donde es un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de y en algún sistema lógico.

Modus tollendo tollens como afirmación de tautología verdad-funcional

Esta notación también es llamada teorema de la lógica proposicional. Se escribe:

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal.

Modus tollendo tollens incluyendo supuestos

Se escribe:

aunque dado que la regla no cambia el conjunto de suposiciones, esto no es estrictamente necesario.

Escrituras más complejas

Muchas veces, se ven reescrituras más complejas que involucran modus tollendo, por ejemplo, en la teoría de conjuntos:

("P es un subconjunto de Q. x no está en Q. Por lo tanto, x no está en P.")

También en la lógica de predicados de primer orden:

("Para todo x si x es P entonces x es Q. Existe algún x que no es Q. Por lo tanto, existe algún x que no es P.")

En sentido estricto no se trata de instancias de tollendo modus, pero podrán derivarse utilizando modus tollendo tollens utilizando algunas medidas adicionales.

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