Modelo de Ising

El modelo de Ising es un modelo físico propuesto para estudiar el comportamiento de materiales ferromagnéticos. Se trata de un modelo paradigmático de la Mecánica Estadística, en parte porque fue uno de los primeros en aparecer, pero sobre todo porque es de los pocos modelos útiles (no sólo pedagógicamente) que tiene solución analítica exacta (esto es, sin cálculos aproximados). Esto lo hace muy útil para ensayar nuevos tipos de aproximaciones y luego comparar con el resultado real.

El modelo de Ising fue inventado por el físico Wilhelm Lenz (1920), que lo concibió como un problema para su alumno Ernst Ising para demostrar que el sistema presentaba una transición de fase. Ising (1925) demostró que en una dimensión no existía tal transición de fase, resolviéndolo en su tesis de 1924,[1] aunque le provocó una profunda desmoralización e hizo que renunciara a la física estadística. El modelo bidimensional de Ising de retícula cuadrada es mucho más difícil, y solamente se le dio una descripción analítica mucho más tarde, por Lars Onsager (1944), que demostró que la física estadística era capaz de describir transiciones de fase (pues como se verá, éste modelo presenta una) lo que terminó de consolidar definitivamente la mecánica estadística. Por lo general, se resuelve mediante un método de transferencia de matriz, aunque existen diferentes enfoques, más relacionados con la teoría cuántica de campos.

Descripción matemática del modelo

Este apartado se limitará al modelo de Ising más conocido y simple, que además posee solución exacta. Luego comentaremos algunas variantes.

Descripción cualitativa

Supongamos partículas colocadas en una matriz cuadrada (algo así como las plantas en una parcela de vid). Cada partícula puede apuntar sólo en dos sentidos, arriba o abajo. Cada una de esas orientaciones se llaman espín de la partícula. El sentido del espín queda determinado mediante la interacción de la partícula con sus vecinas y por fluctuaciones térmicas.

El hamiltoniano del modelo

La energía del sistema es:

donde:

  • es el hamiltoniano del sistema,
  • denota una suma sobre partículas vecinas entre sí,
  • es el espín de la partícula i-ésima, que puede tomar sólo dos valores, +1 y -1, y
  • es el factor de escala entre interacción entre espines y energía. Es un parámetro de la teoría.

Por ejemplo, supongamos que tenemos todos los espines apuntando hacia arriba, esto es siempre. En este caso, la energía total es veces el número diferentes parejas de próximos vecinos, que es (se podría pensar que cada espín tiene cuatro espines, pero no debemos contarlos dos veces por tanto tenemos que dividir por dos). Por tanto la energía del estado fundamental es . El primer estado excitado es que un sólo espín apunte hacia abajo, con energía y así sucesivamente.

La función de partición

El problema se resuelve simplemente calculando la función de partición (véase Colectivo Canónico):

donde se refiere a suma sobre todas las configuraciones posibles de los espines (llamados micro estados).

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