Modelo de Ising

Descripción matemática del modelo

Este apartado se limitará al modelo de Ising más conocido y simple, que además posee solución exacta. Luego comentaremos algunas variantes.

Descripción cualitativa

Supongamos ${\displaystyle N}$ partículas colocadas en una matriz cuadrada. Cada partícula puede apuntar sólo en dos sentidos, arriba o abajo. Cada una de esas orientaciones se llaman espín de la partícula. El sentido del espín queda determinado mediante la interacción de la partícula con sus vecinas y por fluctuaciones térmicas.

El hamiltoniano del modelo

La energía del sistema es:

${\displaystyle H\,=\,\sum _{<i,j>}-J\sigma _{i}\sigma _{j}}$

donde:

• ${\displaystyle H}$ es el hamiltoniano del sistema,
• ${\displaystyle \sum _{<i,j>}}$ denota una suma sobre partículas vecinas entre sí,
• ${\displaystyle \sigma _{i}}$ es el espín de la partícula i-ésima, que puede tomar sólo dos valores, +1 y -1, y
• ${\displaystyle J}$ es el factor de escala entre interacción entre espines y energía. Es un parámetro de la teoría.

Por ejemplo, supongamos que tenemos todos los espines apuntando hacia arriba, esto es ${\displaystyle \sigma _{i}=1}$ siempre. En este caso, la energía total es ${\displaystyle -J}$ veces el número diferentes parejas de próximos vecinos, que es ${\displaystyle 2N}$ (se podría pensar que cada espín tiene cuatro espines vecinos, pero no debemos contarlos dos veces por tanto tenemos que dividir por dos). Por tanto la energía del estado fundamental es ${\displaystyle H_{0}=-2JN}$. El primer estado excitado es que un sólo espín apunte hacia abajo, con energía ${\displaystyle H_{1}=-2JN+8J}$ y así sucesivamente.

La función de partición

El problema se resuelve simplemente calculando la función de partición (véase Colectivo Canónico):

${\displaystyle Z=\sum _{\{\sigma _{i}\}}\prod _{<i,j>}e^{-J\sigma _{i}\sigma _{j}/k_{B}T}}$

donde ${\displaystyle \sum _{\{\sigma _{i}\}}}$ se refiere a suma sobre todas las configuraciones posibles de los ${\displaystyle N}$ espines (llamados micro estados).