Medida de Lebesgue

En matemáticas, la medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una longitud, área o volumen a los subconjuntos de un espacio euclídeo. Se usa en el análisis real, especialmente para definir la integración de Lebesgue. Los conjuntos a los que se les puede asignar un tamaño se denominan Lebesgue-medibles, o medibles a secas si no hay ambigüedad sobre la medida; el volumen o medida de un conjunto Lebesgue-medible A se denota por λ(A). Un valor de ∞ para la medida de Lebesgue es perfectamente posible, pero aún en ese caso, si se asume el axioma de elección, no todos los conjuntos de Rn son Lebesgue-medibles. El comportamiento «extraño» de los conjuntos no medibles da lugar a tales resultados como la paradoja de Banach-Tarski, una consecuencia del axioma de elección.

Ejemplos

  • Si A es un intervalo cerrado [a, b], su medida de Lebesgue es la longitud ba. El intervalo abierto (a, b) tiene la misma medida, pues la diferencia entre los dos conjuntos tiene medida cero.
  • Si A es el producto cartesiano de dos intervalos [a, b] y [c, d], es un rectángulo cuya medida de Lebesgue es el área (ba)·(dc).
  • El conjunto de Cantor es un ejemplo de conjunto no numerable con medida de Lebesgue cero.
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