Medida de Haar

En análisis matemático, la medida de Haar es una manera de asignar un " volumen invariante" a los subconjuntos de grupos topológicos localmente compactos y de definir posteriormente una integral para las funciones sobre esos grupos. Esta medida fue introducida por Alfréd Haar, matemático húngaro, alrededor del año 1932. Véase también Dualidad de Pontryagin. Las medidas de Haar se utilizan en muchas partes del análisis y de la teoría de números.

Preliminares

Sea G un grupo topológico localmente compacto. En este artículo, la σ-álgebra X generada por todos los subconjuntos compactos de G se llama el álgebra de Borel. Un elemento del álgebra de Borel se llama un conjunto de Borel (boreliano).


Si a es un elemento de G y S es un subconjunto de G, entonces definimos el trasladado por la izquierda y por la derecha de S como sigue:

  • La traslación izquierda:
  • La traslación derecha:

Las traslaciones izquierda y derecha trasladan conjuntos de Borel a conjuntos de Borel.

Una medida μ en los subconjuntos de Borel de G se llama invariante por traslación izquierda si y sólo si para todos los subconjuntos de Borel S de G y para toda a en G se tiene


Una definición similar se hace para la invariancia por traslación derecha.

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