Mediana (estadística)

Cálculo

Cálculo de la mediana

1. Ordenamos los datos de menor a mayor.

2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es la puntuación central.

2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5

3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es la media entre las dos puntuaciones centrales.

7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5

Existen dos métodos para el cálculo de la mediana:

1. Considerando los datos en forma individual, sin agruparlos.
2. Utilizando los datos agrupados en intervalos de clase.

A continuación veamos cada una de ellas:

Datos sin agrupar

Sean ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\ldots ,x_{n}}$ los datos de una muestra ordenada en orden creciente y designando la mediana como ${\displaystyle M_{e}}$, distinguimos dos casos:

a) Si n es impar, la mediana es el valor que ocupa la posición ${\displaystyle (n+1)/2}$ una vez que los datos han sido ordenados (en orden creciente o decreciente), porque éste es el valor central. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=x_{(n+1)/2}}$.

Por ejemplo, si tenemos 5 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$ => El valor central es el tercero: ${\displaystyle x_{(5+1)/2}=x_{3}=7}$. Este valor, que es la mediana de ese conjunto de datos, deja dos datos por debajo (${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$) y otros dos por encima de él (${\displaystyle x_{4}}$, ${\displaystyle x_{5}}$).

b) Si n es par, la mediana es la media aritmética de los dos valores centrales. Cuando ${\displaystyle n}$ es par, los dos datos que están en el centro de la muestra ocupan las posiciones ${\displaystyle n/2}$ y ${\displaystyle (n/2)+1}$. Es decir: ${\displaystyle M_{e}=(x_{\frac {n}{2}}+x_+1})/2}$.

Por ejemplo, si tenemos 6 datos, que ordenados son: ${\displaystyle x_{1}=3}$, ${\displaystyle x_{2}=6}$, ${\displaystyle x_{3}=7}$, ${\displaystyle x_{4}=8}$, ${\displaystyle x_{5}=9}$, ${\displaystyle x_{6}=10}$. Aquí dos valores que están por debajo del ${\displaystyle x_{\frac {6}{2}}=x_{3}=7}$ y otros dos que quedan por encima del siguiente dato ${\displaystyle x_+1}=x_{4}=8}$. Por tanto, la mediana de este grupo de datos es la media aritmética de estos dos datos: ${\displaystyle M_{e}={\frac {x_{3}+x_{4}}{2}}={\frac {7+8}{2}}=7,5}$.

Datos agrupados

Al tratar con datos agrupados, si ${\displaystyle {\frac {n}{2}}}$ coincide con el valor de una frecuencia acumulada, el valor de la mediana coincidirá con la abscisa correspondiente. Si no coincide con el valor de ninguna abscisa, se calcula a través de semejanza de triángulos en el histograma o polígono de frecuencias acumuladas, utilizando la siguiente equivalencia:

${\displaystyle {\frac {N_{i}-N_{i-1}}{a_{i}-a_{i-1}}}={\frac (a_{i}-a_{i-1})}$

Donde ${\displaystyle N_{i}}$ y ${\displaystyle N_{i-1}}$ son las frecuencias absolutas acumuladas tales que ${\displaystyle N_{i-1}<{\frac {n}{2}}<N_{i}}$, ${\displaystyle a_{i-1}}$ y ${\displaystyle a_{i}}$ son los extremos, interior y exterior, del intervalo donde se alcanza la mediana y ${\displaystyle M_{e}=a_{i-1}+p}$ es la abscisa a calcular, la mediana. Se observa que ${\displaystyle a_{i}-a_{i-1}}$ es la amplitud de los intervalos seleccionados para el diagrama.