Media (matemáticas)

Construcción geométrica para hallar las medias aritmética, geométrica, armónica y cuadrática de dos números a y b.
Comparación de la media aritmética, la mediana y la moda de dos distribuciones log-normal con diferente asimetría.

En matemáticas y estadística una media o promedio es una medida de tendencia central que según la Real Academia Española (2001) «[…] resulta al efectuar una serie determinada de operaciones con un conjunto de números y que, en determinadas condiciones, puede representar por sí solo a todo el conjunto». Existen distintos tipos de medias, tales como la media geométrica, la media ponderada y la media armónica aunque en el lenguaje común, el término se refiere generalmente a la media aritmética.

Ejemplos de medias

Existen numerosos ejemplos de medias , una de las pocas propiedades compartidas por todas las medias es que cualquier media está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo del conjunto de variables:

Además debe cumplirse que:

Media aritmética

La media aritmética es un promedio estándar que a menudo se denomina "promedio".

La media se confunde a veces con la mediana o moda. La media aritmética es el promedio de un conjunto de valores, o su distribución; sin embargo, para las distribuciones con sesgo, la media no es necesariamente el mismo valor que la mediana o que la moda. La media, moda y mediana son parámetros característicos de una distribución de probabilidad. Es a veces una forma de medir el sesgo de una distribución tal y como se puede hacer en las distribuciones exponencial y de Poisson.

Por ejemplo, la media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es

Media aritmética ponderada

A veces puede ser útil otorgar pesos o valores a los datos dependiendo de su relevancia para determinado estudio. En esos casos se puede utilizar una media ponderada. Si es un conjunto de datos o media muestral y son números reales positivos, llamados "pesos" o factores de ponderación, se define la media ponderada relativa a esos pesos como:

La media es invariante frente a transformaciones lineales, cambio de origen y escala, de las variables, es decir si X es una variable aleatoria e Y es otra variable aleatoria que depende linealmente de X, es decir, Y = a·X + b (donde a representa la magnitud del cambio de escala y b la del cambio de origen) se tiene que:

Media geométrica

La media geométrica es un promedio muy útil en conjuntos de números que son interpretados en orden de su producto, no de su suma (tal y como ocurre con la media aritmética). Por ejemplo, las velocidades de crecimiento.

Por ejemplo, la media geométrica de la serie de números 34, 27, 45, 55, 22, 34 (seis valores) es

Media armónica

La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de números que se definen en relación con alguna unidad, por ejemplo la velocidad (distancia por unidad de tiempo).

Por ejemplo, la media armónica de los números: 34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

Generalizaciones de la media

Existen diversas generalizaciones de las medias anteriores.

Media generalizada

Las medias generalizadas, también conocidas como medias de Hölder, son una abstracción de las medias cuadráticas, aritméticas, geométricas y armónicas. Se definen y agrupan a través de la siguiente expresión:

Eligiendo un valor apropiado del parámetro m, se tiene:

  • - máximo,
  • - media cuadrática,
  • - media aritmética,
  • - media geométrica,
  • - media armónica,
  • - mínimo.

Media-f generalizada

Esta media puede generalizarse para una función monótona como la media-f generalizada:

donde sea una función inyectiva e un intervalo. Escogiendo formas particulares para f se obtienen algunas de las medias más conocidas:

  • - media aritmética,
  • - media armónica,
  • - media generalizada,
  • - media geométrica, .

Media de una función

Para una función continua sobre un intervalo [a,b], se puede calcular el valor medio de función sobre [a,b] como:

De hecho la definición anterior vale aun para una función acotada aunque no sea continua, con la condición de que sea medible.

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