Mecánica lagrangiana

La mecánica lagrangiana es una reformulación de la mecánica clásica introducida por Joseph-Louis de Lagrange en 1788. En la mecánica lagrangiana, la trayectoria de un objeto es obtenida encontrando la trayectoria que minimiza la acción, que es la integral del lagrangiano en el tiempo; siendo éste la energía cinética del objeto menos la energía potencial del mismo.

La formulación lagrangiana simplifica considerablemente muchos problemas físicos. Por ejemplo, los sistemas de referencia inerciales son tratados en pie de igualdad y a diferencia de las leyes de Newton la forma de las ecuaciones del movimiento no depende del sistema de referencia elegido.

Motivación

La utilidad de la formulación lagrangiana se aprecia incluso en ejemplos sencillos. Por ejemplo, considere una cuenta en un aro. Si se calculara el movimiento de la cuenta usando la mecánica newtoniana, se obtendría un sistema complicado de ecuaciones que considerarían las fuerzas que el aro ejerce en la cuenta en cada instante.

En cambio, en la aproximación de Lagrange, uno mira todos los movimientos posibles que la cuenta podría tomar en el aro y encuentra matemáticamente el que reduce al mínimo la acción. Hay muy pocas ecuaciones puesto que no se está calculando directamente la influencia del aro en la cuenta en un instante dado.

Otro ejemplo es el caso del estudio de movimientos referidos a un sistema que gira, como por ejemplo observaciones astronómicas vistas desde el planeta Tierra: en la formulación newtoniana es necesario introducir a mano las fuerzas ficticias o fuerzas de inercia como la fuerza centrífuga o la efecto Coriolis mientras que en la formulación lagrangiana estas fuerzas aparecen de modo natural.

Los dos problemas considerados anteriormente son mucho más sencillos de resolver empleando la formulación lagrangiana.

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