Mecánica de sólidos deformables

Espuma viscoelástica, es un sólido deformable ya que tiende a recuperar su forma para esfuerzos ligeros, aunque el modo de recuperación es retardado a diferencia de un sólido elástico en que la respuesta es prácticamente instantánea.

La mecánica de sólidos deformables estudia el comportamiento de los cuerpos sólidos deformables ante diferentes tipos de situaciones como la aplicación de cargas o efectos térmicos. Estos comportamientos, más complejos que el de los sólidos rígidos, se estudian en mecánica de sólidos deformables introduciendo los conceptos de deformación y de tensión mediante sus aplicaciones de deformación.

Una aplicación típica de la mecánica de sólidos deformables es determinar a partir de una cierta geometría original de sólido y unas fuerzas aplicadas sobre el mismo, si el cuerpo cumple ciertos requisitos de resistencia y rigidez. Para resolver ese problema, en general es necesario determinar el campo de tensiones y el campo de deformaciones del sólido. Las ecuaciones necesarias para ello son:

Tipos de sólidos deformables

Los sólidos deformables difieren unos de otros en su ecuación constitutiva. Según sea la ecuación constitutiva que relaciona las magnitudes mecánicas y termodinámicas relevantes del sólido, se tiene la siguiente clasificación para el comportamiento de sólidos deformables:

  • Comportamiento elástico, se da cuando un sólido se deforma adquiriendo mayor energía potencial elástica y, por tanto, aumentando su energía interna sin que se produzcan transformaciones termodinámicas irreversibles. La característica más importante del comportamiento elástico es que es reversible: si se suprimen las fuerzas que provocan la deformación el sólido vuelve al estado inicial de antes de aplicación de las cargas. Dentro del comportamiento elástico hay varios subtipos:
    • Elástico lineal isótropo, como el de la mayoría de metales no deformados en frío bajo pequeñas deformaciones.
    • Elástico lineal no isótropo, la madera es material ortotrópico que es un caso particular de no-isotropía.
    • Elástico no lineal, ejemplos de estos materiales elásticos no lineales son la goma, el caucho y el hule, también el hormigón o concreto para esfuerzos de compresión pequeños se comporta de manera no lineal y aproximadamente elástica.
  • Comportamiento plástico: aquí existe irreversibilidad; aunque se retiren las fuerzas bajo las cuales se produjeron deformaciones elásticas, el sólido no vuelve exactamente al estado termodinámico y de deformación que tenía antes de la aplicación de las mismas. A su vez los subtipos son:
    • Plástico puro, cuando el material "fluye" libremente a partir de un cierto valor de tensión.
    • Plástico con endurecimiento, cuando para que el material acumule deformación plástica es necesario ir aumentando la tensión.
    • Plástico con ablandamiento.
  • Comportamiento viscoso que se produce cuando la velocidad de deformación entra en la ecuación constitutiva, típicamente para deformar con mayor velocidad de deformación es necesario aplicar más tensión que para obtener la misma deformación con menor velocidad de deformación pero aplicada más tiempo. Aquí se pueden distinguir los siguientes modelos:
    • Visco-elástico, en que las deformaciones elásticas son reversibles. Para velocidades de deformaciones arbitrariamente pequeñas este modelo tiende a un modelo de comportamiento elástico.
    • Visco-plástico, que incluye tanto el desfasaje entre tensión y deformación por efecto de la viscosidad como la posible aparición de deformaciones plásticas irreversibles.

En principio, un sólido de un material dado es susceptible de presentar varios de estos comportamientos según sea el rango de tensión y deformación que predomine. Uno u otro comportamiento dependerá de la forma concreta de la ecuación constitutiva que relaciona parámetros mecánicos importantes como la tensión, la deformación, la velocidad de deformación y la deformación plástica, junto con parámetros como las constantes elásticas, la viscosidad y parámetros termodinámicos como la temperatura o la entropía.

Ecuaciones constitutivas

Los sólidos elásticos son el tipo de sólido deformable de más sencillo tratamiento, ya que son materiales "sin memoria" en que el valor de las tensiones en un punto en un instante dado dependen sólo de las deformaciones en el mismo punto y no de las deformaciones anteriores (ni el valor de otras magnitudes en un instante anterior). Para un sólido elástico la ecuación constitutiva funcionalmente es de la forma:

( 1)

Si el sólido elástico además es homogéneo, la función sólo dependerá del primer argumento. En la especificación anterior denota el conjunto de tensores simétricos en el espacio euclídeo tridimensional. Si el material no responde a una ecuación como la anterior entonces el material es anelástico. Los materiales anelásticos se caracterizan por ser materiales "con memoria" en los que la tensión actual en punto depende de la deformación en el mismo punto en algún instante anterior. La viscoelasticidad es el tipo de fenómeno de memoria más simple, aunque otros fenómenos como la existencia de plasticidad son formas de anelasticidad que requieren un tratamiento más complejo. Un material con memoria totalmente general responde a una ecuación más compleja:

( 2)

Obsérvese que ahora el segundo argumento de no está sobre un espacio vectorial finito (tensores simétricos de orden dos), sino sobre un espacio funcional (funciones que toman valores sobre los tensores de orden dos). Ahora no basta con especificar el valor actual de la deformación sino que es necesario especificar el valor para cualquier instante de tiempo lo cual requiere especificar una función del tiempo con lo cual el primer argumento pertenece a un espacio infinitodimensional.

Afortunadamente el tratamiento de los materiales viscoelásticos y elastoplásticos convencionales puede hacerse con ecuaciones constitutivas menos generales que (2). Los sólidos viscoelásticos y elastoplásticos son casos particulares de (2) pueden definirse sobre espacios de dimensión finita. Por ejemplo un sólido viscoelástico de tipo diferencial con complejidad 1, el tipo más simple de viscoelasticidad, pude ser descrito simplemente mediante una ecuación constitutiva del tipo:

( 3)

Si la complejidad es más alta, bastaría añadir derivadas segundas o terceras hasta el orden adecuado. Para un sólido viscoelástico lineal, puede verse que (3) es un caso particular de (2) ya que en un sólido viscoelástico lineal cuya función de relajación sea la tensión se relaciona con la deformación mediante:

que es una ecuación del tipo (3) que es lineal en todos sus argumentos.

Para un material elastoplástico los efectos "de memoria" del material se representan mediante una variable interna, asociada a la deformación plástica, cuyo valor numérico va a depender de la historia pasada del material: Pero como sólo importa el valor actual de la variable interna las variables seguirán definidas sobre un espacio de dimensión finita. Un material elastoplástico no dependiente de la velocidad de deformación puede representarse por una sistema de ecuaciones del tipo:

( 4)

Donde las variables internas incluyen la deformación plástica y posiblemente otras magnitudes. Si el material es viscoelastoplástico entonces hay que complicar un poco más la primera ecuación anterior:

( 5)

Termodinámica

Para sólidos elásticos y viscoelásticos la ecuación constitutiva, de acuerdo con el procedimiento de Coleman-Noll, puede derivarse de la existencia de una función de densidad energía almacenada. En el caso que sólidos que puedan sufrir cambios de temperatura o entropía al deformase debe substituirse la función de densidad de energía por la energía libre de Helmholtz por unidad de volumen. Usualmente la forma de la potencial de energía libre se toma de la forma:[1]

( 6)

donde:

, es el tensor de Cauchy diestro y su parte desviadora.
, jacobiano del gradiente de deformación.
son variables que caracterizan el comportamiento de fluencia lenta y de relajación.
es la temperatura.

En esa formulación el segundo tensor de tensiones de Piola-Kirchhoff puede obtenerse como:

( 7)

donde:

son las componentes del tensor Cauchy diestro a partir del cual se define el tensor de deformación material de Green-Lagrange.
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