Matriz ortogonal

Una matriz ortogonal es una matriz cuadrada cuya matriz inversa coincide con su matriz traspuesta. El conjunto de matrices ortogonales constituyen una representación lineal del grupo ortogonal .

Geométricamente las matrices ortogonales representan transformaciones isométricas en espacios vectoriales reales[1] (o más exactamente espacios de Hilbert reales) llamadas justamente, transformaciones ortogonales. Estas transformaciones son isomorfismos internos del espacio vectorial en cuestión. En el caso real dichas transformaciones pueden ser rotaciones, reflexiones especulares o inversiones y son usadas extensivamente en computación gráfica. Por sus propiedades, también son usadas para el estudio de ciertos fibrados y en física se las usa en el estudio del movimiento de cuerpos rígidos y en la formulación de ciertas teorías de campos.

Definición

Sea un número natural y sea una matriz cuadrada por , con entradas reales. Se dice que la matriz es ortogonal si:

donde representa la matriz traspuesta de e representa la matriz identidad.

Ejemplos

Supongamos que la matriz de números reales

es ortogonal y su determinante es +1 ó -1.

Por lo que:

Así que los números , , y satisfacen además la propiedad que la suma de sus cuadrados vale 1. Por lo tanto, existen un par de números reales y para los cuales

Por lo tanto, sustituyendo en queda:

Y Entonces, se cumple que o

Concluimos que: toda matriz ortogonal de tamaño 2 puede escribirse como

con real y

con real

Other Languages