Matriz elemental

Una matriz elemental de orden n es el conjunto de matrices que se obtienen de la matriz identidad aplicando solo una operación elemental de fila o columna, i,e:

  • Por escalamiento (Intercambio de filas)
  • Producto de fila por un escalar o suma de una fila con una combinación lineal de otras(eliminación)
  • Por permutación

Propiedades

Se puede probar fácilmente que el producto de una matriz cualquiera con una elemental por la izquierda(derecha) equivale a realizar las operaciones elementales entre las filas (columnas)de la matriz A. Es fácil ver que estas matrices tienen inversas (eventualmente, también elementales), y estas pueden ser calculadas de manera simple pensando en ellas como matrices A a las que se debe aplicar la operación "inversa".

Por ejemplo, para el caso de una matriz obtenida por escalamiento:

Queremos que el elemento sea 1. Entonces:

Para el caso de una matriz obtenida por eliminación:

Queremos que el elemento sea 0. Entonces: