Matriz definida positiva

En el álgebra lineal, una matriz definida positiva es una matriz hermitiana que en muchos aspectos es similar a un número real positivo.

Definiciones equivalentes

Sea M una matriz hermitiana cuadrada n × n. De ahora en adelante denotaremos la transpuesta de una matriz o vector como , y el conjugado transpuesto, . Esta matriz M se dice definida positiva si cumple con una (y por lo tanto, las demás) de las siguientes formulaciones equivalentes:

1. Para todos los vectores no nulos tenemos que
.

Nótese que es siempre real. El producto anterior, recibe el nombre de Producto Cuántico.

2. Todos los autovalores de son positivos. (Recordamos que los autovalores de una matriz hermitiana o en su defecto, simétrica, son reales.)
3. La función

define un producto interno .

4. Todos los determinantes de los menores principales de son positivos. O lo que es equivalente; todas las siguientes matrices tienen determinantes positivo.
  • la superior izquierda de M de dimensión 1x1
  • la superior izquierda de M de dimensión 2x2
  • la superior izquierda de M de dimensión 3x3
  • ...
  • la superior izquierda de M de dimensión (n-1)x(n-1)
  • en sí misma
Para matrices semidefinidas positivas, todos los menores principales tienen que ser no negativos (Criterio de Sylvester).

Análogamente, si M es una matriz real simétrica, se reemplaza por , y la conjugada transpuesta por la transpuesta.

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