Matriz de adjuntos

En la terminología matemática moderna, se denomina matriz adjunta a la matriz conjugada traspuesta.[1]

Dada una matriz cuadrada A, su matriz de adjuntos o matriz de cofactores cof(A) es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A. El término matriz adjunta adj(A) suele crear confusión, ya que en muchos tratados clásicos sobre álgebra lineal corresponde a la matriz de cofactores traspuesta,[6]

El interés principal de la matriz adjunta es que permite calcular la inversa de una matriz, ya que se cumple la relación:

donde adj(A) corresponde a la matriz de cofactores traspuesta, o sea,

.

Sin embargo, para matrices de dimensiones grandes, este tipo de cálculo resulta más costoso, en términos de operaciones, que otros métodos como el método de eliminación de Gauss.

Definición y fórmulas de cálculo

Dada una matriz su matriz de adjuntos es la única matriz tal que:[7]

Esta definición no permite calcular directamente la matriz de adjuntos (o cofactores) por lo que comúnmente se define también la matriz de adjuntos mediante la siguiente fórmula explícita. Dadas las componentes explícitas de la matriz: para cada i y j se define la matriz como la matriz de orden obtenida a partir de eliminando la fila i-ésima y la columna j-ésima. Y se define la cantidad:

Y se tiene que estas son precisamente las componentes de la matriz de adjuntos (o cofactores), es decir,

Matrices 2 x 2

Dada una matriz de 2 x 2:

Su matriz adjunta viene dada por:

donde C es la matriz de cofactores.

Matrices 3 x 3

Dada una matriz de 3 x 3:

Su matriz de cofactores viene dada por:

y por lo tanto la transpuesta de la matriz de cofactores es la matriz Adjunta:

Para matrices de 3x3 también puede usarse la siguiente fórmula:

Ejemplo

Un ejemplo sería el siguiente:

Matrices n x n

Para matrices con n grande, el costo computacional del cálculo de adjuntos es grande, por lo que si el objetivo es calcular la inversa de una matriz, se recurre a otros algoritmos de cálculo que no impliquen calcular primero la matriz de adjuntos. Para el cálculo de la matriz de adjuntos en el caso general, puede emplearse la siguiente fórmula:

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