Módulo proyectivo

En matemáticas, particularmente en álgebra abstracta y álgebra homológica, el concepto de módulo proyectivo sobre un anillo R es una generalización más flexible de la idea de un módulo libre (es decir, un módulo con vectores de base). Hay varias caracterizaciones equivalentes de estos módulos.

Definiciones

Sumandos directos de módulos libres

La caracterización más fácil es como sumando directo de un módulo libre. Es decir, un módulo P es proyectivo cuando hay un módulo Q tal que la suma directa de los dos es un módulo libre F. De esto se sigue que podemos pensar en P como un tipo de proyección en F: el endomorfismo de módulos en F que es la identidad en P y 0 en Q es una matriz idempotente .

Propiedad de elevación

Otra manera que está más en línea con la teoría de categorías es extraer la propiedad de elevación que transporta de los libres a los módulos proyectivos. Usando una base de un módulo libre F, es fácil ver que si nos dan un homomorfismo sobreyectivo del módulo N a M, la función correspondiente de Hom(F, N) a Hom(F, M) es también sobreyectiva (es de un producto de copias de N a un producto con los mismos índices para M). Usando los homomorfismos P → F y F → P para un módulo proyectivo, es fácil ver que P tiene la misma propiedad; y también si podemos levantar la identidad P → P a P → F para F algún módulo libre mapeado sobre P, P es un sumando directo.

Podemos resumir esta propiedad de elevación como sigue: un módulo P es proyectivo si y solamente si para cualquier homomorfismo de módulos sobreyectivo f: NM y cada homomorfismo de módulos g: PM, existe un homomorfismo h: PN tal que fh = g. (no requerimos que el homomorfismo de elevación h sea único; esta no es una propiedad universal.)

Projective module.png

La ventaja de esta definición de "proyectivo" es que puede ser realizada en categorías más generales que las categorías de módulos: no necesitamos una noción de "objeto libre". Puede también ser dualizada, conduciendo a los módulos inyectivos.

Para los módulos, la propiedad de elevación puede equivalentemente ser expresada como sigue: el módulo P es proyectivo si y sólo si para cada homomorfismo de módulos sobreyectivo f: MP existe un homomorfismo de módulos h: PM tal que fh = identidadP. La existencia de tal sección h implica que P es un sumando directo de M y que f es esencialmente una proyección en el sumando P.

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