Módulo (matemática)

Definición

Sea R un anillo con identidad y sea 1R su identidad multiplicativa. Un R-modulo izquierdo de M es un grupo abeliano (M, +) y una operación ⋅ : R × MMtal que para todo r, s en R, x, y en M, se tiene

  1. (rs)x = r(sx)
  2. (r+s)x = rx+sx
  3. r(x+y) = rx+ry
  4. 1x = x

Generalmente, se escribe simplemente "un R - módulo izquierdo M" o RM.

Algunos autores[ cita requerida] omiten la condición 4 en la definición general de módulos izquierdos, y llaman a las estructuras definidas antes "módulos izquierdos unitales". En este artículo sin embargo, todos los módulos (y todos los anillos) se presuponen unitales. Por lo general, para módulos, en la mayoría de los textos se considera la condición 4, mientras que para anillos no se supone que exista elemento unidad, excepto que se diga lo contrario.

Un R módulo derecho M o MR se define de forma semejante, sólo que el anillo actúa por la derecha, es decir se tiene una multiplicación escalar de la forma M × RM, y los tres axiomas antedichos se escriben con los escalares r y s a la derecha de x e y.

Si R es conmutativo, entonces los R-módulos a la izquierda son lo mismo que R-módulos a la derecha y se llaman simplemente R-módulos.

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