Métodos de integración

Se entiende por métodos de integración cualquiera de las diferentes técnicas elementales usadas para calcular una antiderivada o integral indefinida de una función.

Así, dada una función f(x), los métodos de integración son técnicas cuyo uso (usualmente combinado) permite encontrar una función F(x) tal que

,

lo cual, por el teorema fundamental del cálculo equivale a hallar una función F(x) tal que f(x) es su derivada:[notas 1]

.

Generalidades

El problema de resolver una integral indefinida o buscar una primitiva es mucho más complicado que el problema de calcular la derivada de una función. De hecho, no existe un algoritmo determinista que permita expresar la primitiva de una función elemental, es más, la primitiva de muchas funciones elementales de hecho no es ninguna función elemental. Por ejemplo, no existe ninguna función elemental F(x) que sea tal que:

Si se consideran grupos de funciones elementales de un cierto tipo (polinómicas, fracciones racionales, trigonométricas, etc.) entonces el problema de encontrar la primitiva puede resolverse con problemas elementales llamados métodos de integración como los tratados a continuación.

Integración directa

En ocasiones es posible aplicar la relación dada por el teorema fundamental del cálculo de forma directa. Esto es, si se conoce de antemano una función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por disponer de una tabla de integrales o por haberse calculado previamente), entonces tal función es el resultado de la antiderivada. La integración directa requiere confeccionar una tabla de funciones y sus antiderivadas o funciones primitivas.

Ejemplo
Calcular la integral indefinida .
En una tabla de derivadas se puede comprobar que la derivada de es . Por tanto:
Ejemplo
Calcular la integral indefinida.
Una fórmula estándar sobre derivadas establece que para x>0. De este modo, se podría responder que la solución al problema es , pero hay que tener en cuenta que la fórmula sólo es válida para valores positivos de x. La restricción es muy razonable, ya que la función no está definida para valores reales negativos o 0. Sin embargo, para valores negativos también existe una integral indefinida de , que es . Para incluir ambos casos, se dice que la solución es .

Este último ejemplo muestra que es muy importante saber en qué intervalo son válidas las fórmulas encontradas en las tablas de integrales.

Funciones analíticas

El problema de integración es trivial si se consideran funciones analíticas y se admite como primitivas potencias de series formales ya que:

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