Método matricial de la rigidez

Introducción

El método consiste en asignar a la estructura de barras un objeto matemático, llamado matriz de rigidez, que relaciona los desplazamientos de un conjunto de puntos de la estructura, llamados nodos, con las fuerzas exteriores que es necesario aplicar para lograr esos desplazamientos (las componentes de esta matriz son fuerzas generalizadas asociadas a desplazamientos generalizados). La matriz de rigidez relaciona las fuerzas nodales equivalentes y desplazamientos sobre los nodos de la estructura, mediante la siguiente ecuación:

(1)${\displaystyle {\begin{Bmatrix}F_{1}+R_{1}\\F_{2}+R_{2}\\...\\F_{n}+R_{n}\end{Bmatrix}}_{G}={\begin{bmatrix}k_{11}&k_{12}&\cdots &k_{1n}\\k_{21}&k_{22}&\cdots &k_{2n}\\\cdots &\cdots &\ddots &\cdots \\k_{n1}&k_{n2}&\cdots &k_{nn}\end{bmatrix}}_{G}{\begin{Bmatrix}\delta _{1}\\\delta _{2}\\...\\\delta _{n}\end{Bmatrix}}_{G}}$

Donde: ${\displaystyle F_{i}\,}$ son las fuerzas nodales equivalentes asociadas a las fuerzas exteriores aplicadas sobre la estructura; ${\displaystyle R_{i}\,}$ son las reacciones hiperestáticas inicialmente desconocidas sobre la estructura; ${\displaystyle \delta _{i}\,}$ los desplazamientos nodales incógnita de la estructura y ${\displaystyle n\,}$ el número de grados de libertad de la estructura.

La energía de deformación elástica también puede expresarse en términos de la matriz de rigidez mediante la relación:

${\displaystyle E_{def}={\frac {1}{2}}{\boldsymbol {\delta }}\cdot [\mathbf {K} ({\boldsymbol {\delta }})]={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}k_{ij}\delta _{i}\delta _{j}}$

Del teorema de Maxwell-Betti se deduce que la matriz de rigidez debe ser simétrica y por tanto:

${\displaystyle k_{ij}=k_{ji}\,}$