Método exhaustivo

El método exhaustivo[1] es un procedimiento geométrico de aproximación a un resultado, con el cual el grado de precisión aumenta en la medida en que avanza el cálculo.

También se conoce como:

  • método por agotamiento,[2]
  • método de exhausción[3] o
  • método de exhaución.[4]

El término proviene del inglés method of exhaustion (que sería mejor traducido como ‘método por agotamiento’, ya que la Real Academia Española no ha aceptado aún el sustantivo «exhausción», a pesar de reconocer el adjetivo «exhausto». El inglés exhaustion proviene del latín exhaustiō (‘agotamiento’).

Historia

Método exhaustivo para hallar el área del círculo, la longitud de la circunferencia y, como consecuencia, el número pi.

El sofista Antifonte ( 430 a. C.) trató de determinar el área del círculo inscribiendo en él un mayor número de triángulos, cada vez más pequeños, hasta que su área se colmara.

Un ejemplo más famoso del método exhaustivo o por agotamiento es el del cálculo de la longitud de una circunferencia efectuado por Arquímedes. Él utilizó dos métodos:

  • el método de agotamiento, inscribiendo polígonos regulares en una circunferencia de radio unitario, y
  • el método de compresión, circunscribiendo polígonos a la circunferencia. De este modo, al aumentar el número de lados de los polígonos, las figuras tenderán a acercarse a la forma de la circunferencia, tanto que Arquímedes pudo obtener una medida bastante precisa del número π.

El método de agotamiento está descrito en el Método, un libro de Arquímedes en el que se explica este procedimiento. Es la base de los conceptos que en el siglo XVII permitieron a Isaac Newton y a Leibniz unificar el cálculo diferencial con el integral, lo cual conllevó la posterior definición rigurosa de límite de una función por Bernard Bolzano, Cauchy y Weierstrass.

El método de agotamiento es el precursor del concepto de Suma de Riemann que permite definir con rigor la integral de una función en un intervalo.

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