Método de Runge-Kutta

En análisis numérico, los métodos de Runge-Kutta son un conjunto de métodos genéricos iterativos, explícitos e implícitos, de resolución numérica de ecuaciones diferenciales. Este conjunto de métodos fue inicialmente desarrollado alrededor del año 1900 por los matemáticos C. Runge y M. W. Kutta.

Descripción

Los métodos de Runge-Kutta (RK) son un conjunto de métodos iterativos (implícitos y explícitos) para la aproximación de soluciones de ecuaciones diferenciales ordinarias, concretamente, del problema de valor inicial.

Sea

una ecuación diferencial ordinaria, con donde es un conjunto abierto, junto con la condición de que el valor inicial de ƒ sea

Entonces el método RK (de orden s) tiene la siguiente expresión, en su forma más general:

,

donde h es el paso por iteración, o lo que es lo mismo, el incremento entre los sucesivos puntos y . Los coeficientes son términos de aproximación intermedios, evaluados en ƒ de manera local

con coeficientes propios del esquema numérico elegido, dependiente de la regla de cuadratura utilizada. Los esquemas Runge-Kutta pueden ser explícitos o implícitos dependiendo de las constantes del esquema. Si esta matriz es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal principal iguales a cero; es decir, para , los esquemas son explícitos.

Ejemplo

Esquema Runge-Kutta de dos etapas, una en y otra en . ƒ(t,y(t)) en la primera etapa es:

Para estimar ƒ(t,y) en se usa un esquema Euler

Con estos valores de ƒ, se sustituyen en la ecuación

de manera que se obtiene la expresión:

Los coeficientes propios de este esquema son:

Variantes

Existen variantes del método de Runge-Kutta clásico, también llamado Runge-Kutta explícito, tales como la versión implícita del procedimiento o las parejas de métodos Runge-Kutta (o métodos Runge-Kutta-Fehlberg).

Este último consiste en ir aproximando la solución de la ecuación mediante dos algoritmos Runge-Kutta de órdenes diferentes, para así mantener el error acotado y hacer una buena elección de paso.

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