Ley de reciprocidad cuadrática

En matemática, dentro de la teoría de números la ley de reciprocidad cuadrática designa al " teorema áureo" que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas:

donde y son números primos impares.[2]

Enunciado

El enunciado del teorema áureo es el siguiente:

Teorema áureo (ley de reciprocidad cuadrática)

Si ninguno de los primos o pertenece a la sucesión entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión entonces o bien ambas congruencias tienen solución o bien ninguna de las dos tiene solución.

El enunciado puede simplificarse utilizando el símbolo de Legendre:

entonces el enunciado del teorema puede resumirse de la siguiente forma:

Como es par si alguno de los primos p o q es congruente con 1 mod 4, y es impar en otro caso, es igual a 1 si p o q es congruente con 1 mod 4, y es igual a –1 si ambos son congruentes con 3 mod 4.

Algunas de las demostraciones más sencillas de la ley de reciprocidad cuadrática utilizan el lema de Gauss que trata sobre residuos cuadráticos, y que él mismo utilizó en dos de sus ocho demostraciones.

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