Ley de reciprocidad cuadrática

En matemática, dentro de la teoría de números la ley de reciprocidad cuadrática designa al "teorema áureo" que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas:

donde y son números primos impares.[3]

Enunciado

El enunciado del teorema áureo es el siguiente:

Teorema áureo (ley de reciprocidad cuadrática)

Si ninguno de los primos o pertenece a la sucesión entonces una de las congruencias tiene solución si y sólo si la otra no tiene solución. Si alguno de los primos pertenece a la sucesión entonces o bien ambas congruencias tienen solución o bien ninguna de las dos tiene solución.

El enunciado puede simplificarse utilizando el símbolo de Legendre:

entonces el enunciado del teorema puede resumirse de la siguiente forma:

Como es par si alguno de los primos p o q es congruente con 1 mod 4, y es impar en otro caso, es igual a 1 si p o q es congruente con 1 mod 4, y es igual a –1 si ambos son congruentes con 3 mod 4.

Algunas de las demostraciones más sencillas de la ley de reciprocidad cuadrática utilizan el lema de Gauss que trata sobre residuos cuadráticos, y que él mismo utilizó en dos de sus ocho demostraciones.

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