Ley de Benford

La ley de Benford, también conocida como la ley del primer dígito, asegura que, en los números que existen en la vida real, la primera cifra es 1 con mucha más frecuencia que el resto de los números. Además, según crece este primer dígito, más improbable es que se encuentre en la primera posición. Esta ley se puede aplicar a hechos relacionados con el mundo natural o con elementos sociales:

Historia

En 1881 el astrónomo y matemático Simon Newcomb observó que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban manifiestamente más usadas que las finales, de lo que dedujo que aparentemente los dígitos iniciales de los números (al menos los utilizados en su trabajo por quienes habían consultado las tablas) no son equiprobables sino que el 1 aparece como dígito inicial más frecuente, seguido del 2, etc. hasta el 9 que es el menos frecuente. En lo sucesivo se considerará el primer dígito no nulo o significativo; p.e. el dígito inicial de 24,8 es 2 y el de 0,034 es 3. Mediante un breve e ingenioso razonamiento, aunque sin presentar realmente un argumento formal ni fórmula matemática, Newcomb enunció verbalmente una relación o ley logarítmica: “la ley de probabilidad de la ocurrencia de números es tal que las mantisas de sus logaritmos son equiprobables” de la que derivó probabilidades para el valor del primer dígito más significativo:

Dígito d P(d)
1 0,301
2 0,176
3 0,125
4 0,097
5 0,079
6 0,067
7 0,058
8 0,051
9 0,046

Obsérvese que como primer dígito no se toma nunca el 0. El resultado más llamativo es el predominio del dígito 1 con una probabilidad del 30% mientras que la del 9 no alcanza el 5%, valores muy distintos al valor equiprobable de (100/9) % que cabría esperar. Es mucho más probable que el primer dígito sea impar (61%) que par (39%).

En 1938 y de manera independiente el físico Frank Benford observó el mismo fenómeno en las tablas de logaritmos y realizó una comprobación empírica sobre un total de 20.229 números agrupados en 20 muestras de gran diversidad: áreas fluviales, constantes y magnitudes físicas y químicas, funciones matemáticas e incluso números de direcciones de personas y tomados de portadas de revistas. A partir de los resultados empíricos Benford postuló una “ley de los números anómalos” para la probabilidad de que el primer dígito sea d. Esta ley logarítmica se conoce como “ley de Benford”

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