Lemniscata

Lemniscata.

En matemática, una lemniscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas cartesianas:

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemática. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Su representación en Unicode es y su código es (∞).

La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante. En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en latín significa «cinta colgante».[1]

La lemniscata puede ser obtenida como la transformada inversa de una hipérbola, con el círculo inversor centrado en el centro de la hipérbola (punto medio del segmento que une los dos focos)[ cita requerida].

Propiedades

Tiene sólo dos focos, siendo la distancia entre ellos.[2]

Coordenadas polares

La lemniscata puede ser descrita mediante coordenadas polares según la siguiente ecuación:

Coordenadas bipolares

Llámanse coordenadas bipolares del punto P de un plano, con respecto a los polos O y O', al par ordenado (r, r') que son sus sendas distancias del punto a los polos. [3] .

De esta manera, en coordenadas bipolares, la ecuación de la lemniscata es:

,

donde a es una constante real estrictamente positiva.

Curvatura y área

El radio de curvatura R es

Su área es[4]

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